3 opgaver

Opgave 1

For et bestemt ølmærke er der målt, hvordan skumhøjden i glasset aftager med tiden. Sammenhængen kan beskrives ved modellen 

f(x)=11,2*e^-0,223x

x=antal minutter efter opskænkningen af øllet

f(x)=skumhøjden i cm

Bestem den hastighed, hvorved skumhøjden aftager 0,5 minutter efter opskænkningen af øllet

Min løsning:

Jeg finder f'(0,5), som siger noget om, hvor hurtigt skumhøjden aftager på 0,5 minutter

f'(x)=11,2*-0,223*e^-0,223x

f'(0,5)=11,2*-0,223*e^-0,223*0,5=-2,23

Skumhøjden aftager med en hastighed på 2,23 0,5 minutter efter opskænkningen

Opgave 2

En funktion er givet ved f(x)=3x+10e^2x

Bestem f'(0)

f'(x)=3+2*10*e^2x

Bruger reglerne (ax')=a og (e^kx)'=k*e^kx

f'(x)=3+20e^2x

f'(0)=3+20*e^2*0=3+20*e⁰=3+20*1=3+20=23

f'(0)=23

Opgave 3

I et radioaktivt stof henfalder (omdannes) atomkernerne med tiden. I en prøve af et bestemt radioaktivt stof er antallet A(t) af henfald pr. sekund givet ved A(t)=148*0,956^t

hvor t er tiden, målt i sekunder.
a) Bestem antallet af henfald pr. sekund til tidspunktet t=10 sekunder og bestem halveringstiden.
b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 5 henfald pr. sekund.
Det samlede antal henfald i de første p sekunder kan bestemmes som

c) Det samlede antal henfald i de første p sekunder kan bestemmes som ∫^p₀ A(t) dt

Bestem det samlede antal henfald i de første 10 minutter

a)

A(10)=148*0,956¹⁰≈94

Der er 94 henfald pr sekund efter 10 sekunder

T_1/2=log(1/2)/log(a) hvor 0<a<1

Det ses, at a=0,956

T_1/2=log(1/2)/log(0,956)=15,40

Halveringstiden er 15,40 dvs. at af mængden af det radioaktive stof halveres efter 15,40 sekunder

b)

5 henfald pr sekund, så er A(t)=5

5=148*0,956^t

5/148=(148*0,956^t)/148

5/148=0,956^t

log(5/148)=t*log(0,956)

t=log(5/148)/log(0,956)≈75 sekunder

Efter 75 sekunder er der 5 henfald pr sekund

c)

Jeg finder stamfunktionen til A(t) og sætter t=10

A(t)dt=-3289,081*0,956^x

A(10)dt=-3289,081*0,956¹⁰=-2097

Det samlede antal henfald er 2097 i de første 10 sekunder

Tror ikke fremgangsmåden i 3c er helt korrekt

Det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en, der kunne rette det igennem. Jeg er mest usikker på 1 og 3c

Tusind tak