Matematik

Sandsynlighed hjælp

16. marts 2016 af tikta (Slettet) - Niveau: A-niveau

En produktion af batterier er kendetegnet ved at levetiden af disse er normalfordelte med middelværdi 600 døgn og produksionsbestemt spredning på 50 døgn.

Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt udvalgt batteri har en levetid på mindre end 500?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. marts 2016 af SådanDa

Sandsynligheden for at en stokastisk variabel er mindre end x, kan ses som en funktion af x. Denne funktion kaldes fordelingsfunktionen af X. Vi kan notere det som: P(X≤x)=F_X(x), hvor F_X(x) er fordelingsfunktionen for X.

I dit konkrete tilfælde har du en normaltfordelt stokastisk variabel med parametrene 600 (middelværdi) og 50²=2500 (Varians). Dette kan skrives som X~N(600,2500).

Vi skal altså nu finde P(X≤500) (sandsynligheden for at X er mindre end 500). Så vi skal bruge fordelingsfunktionen for en normalfordeling. Normalfordelingsfunktionen for en normalfordeling med middelværdi 0 og varians 1 (standard normalfordelingen) noteres ofte som Φ(x) og er på følgende form:

$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{z^2}{2}}\ \textup{d}z$

Denne fordelingsfunktion kan bruges til at finde værdier i fordelingsfunktioner for andre normalfordelinger. Det gælder nemlig at for en normalfordelt stokastisk variabel Y med middelværdi µ og varians σ² er:

$F_Y(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$ . (dette kan vises).

Så i dit tilfælde kan du altså regne P(X≤500)=F_X(500)=Φ((500-600)/2)=Φ(-2).

Dette er selvfølgelig lidt besværligt, dog er jeg sikker på at din lommeregner har en funktion der kan regne normalfordelingsfunktioner. Jeg ved dog ikke hvilken lommeregner du har, så jeg kan ikke sige dig hvordan. :)

Svar #2
16. marts 2016 af tikta (Slettet)

Φ hvordan finder jeg den?

Svar #3
16. marts 2016 af tikta (Slettet)

Forsår ikke helt hva du gør

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. marts 2016 af SådanDa

Φ er givet som det integral jeg har skrevet i #1. Altså har du at:

$\Phi(-2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-2}e^{-\frac{z^2}{2}}\ \textup{d}z$ .

Men som sagt er det nok meget nemmere at bruge lommeregnerens indbyggede funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. marts 2016 af SådanDa

Se f.eks. her:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=normal+distribution,+mean%3D600,+sd%3D50,+P(X%3C%3D500)

Svar #6
16. marts 2016 af tikta (Slettet)

Når ja okay :) En sidste ting. Hvis jeg skal have sandsynligheden mellem 2 tal fx 600 og 700 hvordan gør jeg så?

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. marts 2016 af SådanDa

Altså P(600<X≤700)=F_X(700)-F_X(600).

Skriv et svar til: Sandsynlighed hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.