Matematik

Vektorer? Determinant?

11. juni 2016 af Britagnita (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa!

Er gået lidt i stå med dette del af spørgsmål til mundtligt!:

"Redegør for regning med vektorer, og bevis hvorledes skalarproduktet og vinkel mellem vektorer hænger sammen, og hvordan determinant og vinkel fra en vektor til en anden hænger sammen."

Jeg ved godt hvad en determinant er, men kan ikke nogen steder finde ud af sammenhængen mellem determinant og vinkel til en vektor fra en anden.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2016 af BechHohen88 (Slettet)

Det du kan forstå ved "vinklen fra en vektor til en anden" er efter al sandsynlighed, det der betegnes som "omløbsretning". Du kan ud fra determinanten og vinklen mellem to vektorer vise, om den korteste afstand, når du "drejer" en vektor mod en anden vektor medfører negativ eller positiv omløbsretning. For mere information, se følgende link;

https://plusa3stx.systime.dk/index.php?id=2300

Svar #2
11. juni 2016 af Britagnita (Slettet)

#1
Det du kan forstå ved "vinklen fra en vektor til en anden" er efter al sandsynlighed, det der betegnes som "omløbsretning". Du kan ud fra determinanten og vinklen mellem to vektorer vise, om den korteste afstand, når du "drejer" en vektor mod en anden vektor medfører negativ eller positiv omløbsretning. For mere information, se følgende link;

https://plusa3stx.systime.dk/index.php?id=2300

Ok, har dette noget med arealet af et parallelogram at gøre eller nej? Kan du være mere specifik med hvilken del på hjemmesiden?

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. juni 2016 af BechHohen88 (Slettet)

Parallelogrammet er en del af den geometriske fortolkning af determinanten. Jeg ville dog holde fokus på "Omløbsretning for vektorpar" i dette tilfælde, da det nok er det din lærer mener med spørgsmålet. Hvis du bruger systemet MAT A1 (Carstensen) kan du slå op på siderne 215-217. :)

Brugbart svar (1)

Svar #4
12. juni 2016 af mathon

$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$

Skalarproduktet defineres

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\ b_1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2$

Endvidere gælder i et vilkårligt, ortonormalt koordinatsystem med basisvektorer $\frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}$ og $\frac{\widehat{\overrightarrow{a}}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}$

for vinklen mellem vektorerne $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ identisk med vinklen mellem $\frac{\overrightarrow{a}}{\left |\overrightarrow{a} \right |}$ og $\frac{\overrightarrow{b}}{\left |\overrightarrow{b} \right |}$
at
$\cos(V)=\frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}$

   $\sin(V)=\frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}\cdot \frac{\widehat{\overrightarrow{a}}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{\widehat{\overrightarrow{a}}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}$ da skalarproduktet er kommutativt.

Brugbart svar (1)

Svar #5
12. juni 2016 af mathon

hvoraf
$\sin(0^\circ)=\sin(180^\circ)=\frac{\widehat{\overrightarrow{a}}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}=0$

dvs
$\widehat{\overrightarrow{a}}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -a_2\\a_1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1b_2-a_2b_1=det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2& b_2 \end{vmatrix}=0$

når og kun når
   $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ er parallelle.

Svar #6
12. juni 2016 af Britagnita (Slettet)

#5
hvoraf
   $\sin(0^\circ)=\sin(180^\circ)=\frac{\widehat{\overrightarrow{a}}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}=0$

dvs
$\widehat{\overrightarrow{a}}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -a_2\\a_1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1b_2-a_2b_1=det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2& b_2 \end{vmatrix}=0$

når og kun når
   $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ er parallelle.

Super tak for svar, mathon, men har du ikke svaret på hvordan skalarprodukt of vinkel mellem vektorer hænger sammen?

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. juni 2016 af mathon

Genlæs #4

Skriv et svar til: Vektorer? Determinant?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.