Matematik

Bestem alle løsninger for den komplekse ligning

17. september 2016 af TriloHansen (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Bestem alle løsninger for den komplekse ligning

$(2*\sqrt{3}-2i-e^z)(e^z-1)=0$

som har absolut værdi der er mindre end 2*pi

Jeg har indtil videre opskrevet de to ligninger $2*\sqrt{3}-2i=e^z , e^z=1$

og fundet deres løsninger, men hvordan begrænser jeg løsningerne således at de ligger inden for 2*pi?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. september 2016 af mathon

e^z=1

z=0

$2\sqrt{3}-2i-e^z=0$

$e^z=2\sqrt{3}-2i=4e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}$

$z=\ln\left (4\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}} \right )=\ln(2^2)+i\cdot \tfrac{\pi }{6}=2\ln(2)+i\tfrac{\pi }{6}$

dvs
$z=\left\{\begin{matrix} 0\\ 2\ln(2)+i\tfrac{\pi }{6} \end{matrix}\right.$

Svar #2
18. september 2016 af TriloHansen (Slettet)

Ligning 2 du har opskrevet har vel ikke argumentet $\frac{\pi}{6}$ , da den har en negativ imaginær del, men derimod $\frac{11\pi}{6}$
Gælder det at argumentet<2*pi hvis absolutværdien er mindre end 2*pi? Forstår ikke helt formuleringen i opgaven

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. september 2016 af mathon

korrektion for fortegnsfejl:

e^z=1

z=0

$2\sqrt{3}-2i-e^z=0$

$e^z=2\sqrt{3}-2i=4e^{i\cdot \mathbf{\color{Red} \frac{11\pi }{6}}}$

$z=\ln\left (4\cdot e^{i\cdot \frac{11\pi }{6}} \right )=\ln(2^2)+i\cdot \tfrac{11\pi }{6}=2\ln(2)+i\tfrac{11\pi }{6}$

dvs
$z=\left\{\begin{matrix} 0\\ 2\ln(2)+i\tfrac{11\pi }{6} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. september 2016 af VandalS

#2 Betragt det simplere problem e^z=i . Da $e^{xi}=cos(x)+i\cdot sin(x)$ er hovedargument $x=\frac{\pi}{2}$ , men da sinus-funktionen er periodisk med $T=2\pi$ har opgaven uendeligt mange løsninger af formen $x=\frac{\pi}{2}+2p\pi, p\in \mathbb{Z}$ . Det er der tilsvarende også i din opgave, men kun nogle af disse uendeligt mange løsninger har en længde (absolutværdi), der er mindre end $2\pi$ . Opgaven beder dig angive denne mindre mængde.

Svar #5
18. september 2016 af TriloHansen (Slettet)

#4 Ja den er jeg med på. Som jeg skrev i #0 er det netop der jeg sidder fast. Kan man sige at mathons løsninger (som jeg også selv var kommet frem til) er de eneste da periodiciteten ikke gælder her? Eller hvordan finder man de løsninger der har absolutværdi på mindre end 2 pi

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. september 2016 af VandalS

$e^{xi}$ er periodisk med perioden $2\pi$ eftersom sinus og cosinus funktionerne er det. De løsninger mathon giver i #3 er de principielle løsninger, men der er stadig uendeligt mange løsninger idet du kan lægge $2\pi$ til den komplekse del af og stadig få det samme tal, dvs. $e^z=e^{z+2p \pi i}, p \in \mathbb{Z}$ .

Svar #7
18. september 2016 af TriloHansen (Slettet)

#6 det er jeg klar over, og det var netop derfor jeg spurgte om man i dette ené tilfælde kunne sige at den ikke gjald da absolutværdien skulle være mindre end 2pi. Har stadig svært ved at se, hvis løsningerne ikke er dem som Mathon skrev op, hvad de så er.

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. september 2016 af VandalS

#7 Du kan også trække $2 \pi$ fra, så udover de løsninger der er angivet i #3 er der den tredje løsning $z=2 \ln(2)-i\frac{\pi}{6}$ .

Svar #9
18. september 2016 af TriloHansen (Slettet)

#7.
11pi/6 - 2pi != -pi/6

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. september 2016 af VandalS

#9 Er det mig eller dig selv, du skriver en kommentar til?

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. september 2016 af miesim1 (Slettet)

Er vi enige om, at den endelige løsning er de løsninger, mathon giver i #3? - Man skal ikke regne videre eller tilføje yderligere?

Skriv et svar til: Bestem alle løsninger for den komplekse ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.