Matematik

bevis hjælp

20. september 2016 af sumia9 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle. Nogen der gider hjælpe mig med beviset i det vedhæftede dokument. Jeg ved virkelig ikke hvor jeg skal starte fra og hvad beviset går ud på?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-09-20 21.27.14.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2016 af PeterValberg

Jeg indsætter lige dit vedhæftede billede:

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #2
20. september 2016 af sumia9 (Slettet)

Hej Peter

Er det noget du kan hjælpe med?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2016 af PeterValberg

jeg tror, at du skal have fat i Peter Lind (der er online i skrivende stund)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. september 2016 af VandalS

En interessant opgave. Talteori er ikke min stærkeste side, men jeg tror alligevel at jeg har knækket den. Først beviser vi hintet:

Lad k,m være naturlige tal med ulige. Se på produktet

$P= \left( 2^k+1 \right ) \left( 2^{k(m-1)}-2^{k(m-2)} + 2^{k(m-3)}...+1 \right )$ .

Vi kan skrive den højre parentes som

$2^{k(m-1)}-2^{k(m-2)} + 2^{k(m-3)}-...+1 = \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i)}$ , hvilket giver os

$P = \left(2^k +1 \right ) \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i)} = \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i+1)} + \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i)}$ .

Træk det første led ud af den første sum og det sidste led ud af den anden sum sum og vi får

$P=(-1)^{1+1} 2^{k(m-1+1)} + \sum_{i=2}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i+1)} + \sum_{i=1}^{m-1}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i)} + (-1)^{m+1} 2^{k(m-m)}$

$\sum_{i=2}^{m}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i+1)} = \sum_{i=1}^{m-1}(-1)^{i} 2^{k(m-i)} = - \sum_{i=1}^{m-1}(-1)^{i+1} 2^{k(m-i)}$

går de to summer ud med hinanden. Da er ulige er m+1 lige, så tilbage har vi at

$P=(-1)^{1+1} 2^{k(m-1+1)} + (-1)^{m+1} 2^{k(m-m)} = 2^{km}+1$

som ønsket.

Nu til det egentlige bevis.

Lad være et naturligt tal med den egenskab at p=2^n+1 er et primtal. Sådanne findes da f.eks. $n=2 \Rightarrow p=2^2+1=5$ , hvilket er et primtal. Antag at ikke kan skrives på formen $n=2^r, r \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ . Per denne antagelse gælder der da at der i primtalsfaktoriseringen af indgår mindst et ulige (prim)tal . Vi kan da skrive $n=k \cdot m$ for et eller andet heltal k < n . Per hintet har vi nu at

$2^n+1=2^{km}+1=\left(2^k +1\right ) \sum_{i=1}^m (-1)^{i+1} 2^{k(m-i)}$ ,

hvilket viser at 2^k+1 går op i et helt antal gange. Dette er i modstrid med at er et primtal, så vores antagelse om at ikke er på formen n=2^r er forkert.

Dermed må ethvert primtal der kan skrives som 2^n+1 være på formen $2^{2^r}+1$ for et eller andet $r \in \mathbb{N} \cup \{ 0\}$ . Q.E.D.

Skriv et svar til: bevis hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.