Matematik

Cykletyper og fortegn, eksamensspørgsmål

15. oktober 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg har svært med forstå en definition, og det er en del af mundtlig eksamen.
Vil nogen hjælpe med at forstå definitionen ud fra en eksempel givet fra mig?

Definitionen:

Lad $\sigma$ være en permutation af $A = \{ a_0, a_1,a_2,....a_n\}$ . Da indføres følgende betegnelser om banerne og deres længder:
$m(\sigma) = $antal$ \ $baner$ \ $for$ \ \sigma$
$m_p(\sigma) = $antal$ \ $baner$ \ $for$ \ \sigma \ $af$ \ $laengde$ \ p$
Den endelige følge $m_1(\sigma), m_2(\sigma), ,...... m_n(\sigma)$ kaldes $\sigma's$ cykeltype.
Den skrives ofte som et formelt produkt: $1^{m_1},2`{m_2},..n^{m_n}$

Lad $\sigma =\begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 & 5&6 & 7&8 & 9\\ 3 & 2 & 1& 9 &8 &5 &7 &6 &4 \end{pmatrix}$

Her ved jeg, at $\sigma$ har en permutation som produkt af af disjunkte cykler (1,3) (2) (4,9) (5 , 8 , 6) (7).
Hvor (2,7) er fixpunkter.

Hvordan kan man regne de antal baner for $\sigma$ ? $m(\sigma)$
Hvordan kan man regne de antal bane af længden p ? $m_p(\sigma)?$

Hvordan kan man regne den endelig følge $1^{m_1},2`{m_2},..n^{m_n}$ ?
Hvordan kan man regner $m(\sigma)= \sum_p m_p(\sigma)$ ?

Hvordan kan man regne $|A|=m(\sigma)= \sum_p P*m_p(\sigma)$ ud fra miin eksempel?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. oktober 2016 af VandalS

Min bog om abstrakt algebra er på engelsk og det er et stykke tid siden jeg har arbejdet med det, så tag forbehold for at jeg muligvis har misfortolket begreberne. Jeg formoder, at begrebet baner er det, der på engelsk kaldes orbits.

Lad og . Banen af et element $x\in X$ er så mængden af elementer i , der kan nås ved at bruge gruppeaktioner fra på . Eksempelvis er banen for x=1 mængden og for x=5 er banen _. Så er svarene på dine spørgsmål som følger:

1+4) Lig antallet af disjunkte cykler

2) Lig antallet af disjunkte cykler hvis antal af elementer er .

3) Du har selv givet definitionen. I det her eksempel ville det være 1^22^23^1 , altså en slags opsummering af hvor mange baner der er af hver længde.

5) Her må du klargøre, hvad du mener. Hvis det blot er så se 1+4)

Hvis øvrige medlemmer af studieportalen har rettelser, så sig endelig frem så jeg kan få genopfrisket min abstrakte algebra =)

Svar #2
15. oktober 2016 af Rossa

Her er min bog. http://www.math.ku.dk/noter/filer/dis2013.pdf
På side 143 til 145 er alle de formler, som jeg kan ikke forstå.
Jeg har selv stiilet opgaven for at forstå alle formlerne. Hvis du læser definitionen 417 op til Lemma 424, så vil du måske se det bedre.
Hvordan har du regenet $m(\sigma) = \sum_p m_p(\sigma)$ ?
Kan du vise mig mellem regningerne, da jeg ikke kan forstå $m_p(\sigma)$ .
Hvordan kan regnes |A| ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
15. oktober 2016 af VandalS

Jeg har ikke beregnet noget, jeg har talt. Antallet af disjunkte cykler og antallet af baner er det samme, så du skal bare tælle hvor mange cykler der er i din permutation.

er det samlede antal af baner, mens angiver antallet af baner med længde .

angiver antallet af elementer i og beregnes ved

$|A| = \sum_p{p\cdot m_p{(\sigma)}}$ ,

altså summen af antallet af baner af længde ganget deres længde.

I dit eksempel har du:

2 baner af længde 1.

2 baner af længde 2.

1 bane af længde 3.

Dermed er antallet af elementer i lig

Du kan også hurtigt beregne hvis du har cykeltypen. Hvis en permutation på sættet har cykeltypen $a^i \cdot b^j \cdot c^k$ må antallet af elementer i være

$|A| = i \cdot a + j \cdot b + k \cdot c$ .

Svar #4
17. oktober 2016 af Rossa

Tak for hjælpen. Jeg har stillet et spørgsmål på portalen som "Diskret Matematik, Cykletyper og fortegn".
Opgaven har jeg løst efter dine forklaring. Kunne du kigge på opgaven?

Skriv et svar til: Cykletyper og fortegn, eksamensspørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.