Matematik V

Beregn lagranges restled for Taylorpolynomiet af orden 2

Antag at f og dens n + 1 første differentierte er kontinuerlige på intervallet [a,x]. Lad M være et tal sådan at |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M for alle t mellem a og x. Da er

                |R_nf(x)| ≤ [M/(n+1)!] |x-a|ⁿ⁺¹

1. Find den n + 1 differentierte til f(t) = sin(t), hvor n i dit tilfælde er 2.
2. Find et tal M, således at |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M
3. Indsæt i formlen og regn ud...

Husk, at a = 0 (dit udviklingspunkt er jo 0)
x = 1/10, da |R_nf(x)| = |f(x) - T_nf(x)|

Tænker jeg rigtigt, hvis jeg gøre således:

, når 1/10 indsættes bliver det til:

men hvordan kan jeg konkludere, at ?

1.
Den n + 1 differentierte til f(t) = sin(t), hvor n = 2....

Du har at f''(t) = -sin(t).. Du har derfor f'''(t) = -cos(t).

2.
Cosinus er begrænset i intervallet I = [-1,1].
Derfor er |-cos(t)| begrænset i intervallet I = [0,1]
Hvis du skal finde et M således |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M, så kan vi vælge M = 1.

3.
Indsætter i formlen:
|R_nf(x)| ≤ [M/(n+1)!] |x-a|ⁿ⁺¹

|R₂f(1/10)| = |sin(1/10) - T₂f(1/10)| = |sin(1/10) - 1/10| ≤ [1/(2+1)!]·[1/10 - 0]²⁺¹ = [1/6]·[1/1000] = 1/6000