Nogle som er gode til forklare

surjektiv er når f(x) = y har en løsning for alle y

En funktion, y=f(x), er injektiv, hvis to forskellige værdier af x altid giver to forskellige værdier af y.

Eksempler:

f(x) = x: Hvis man indsætter to forskellige x-værdier, vil man få to forskellige y-værdier, så funktionen er injektiv.

g(x) = x²: Hvis man indsætter 2 og -2, får man samme resultat:g(2) = 4 og g(-2)=4, så denne funktion er ikke injektiv.

Funktioner som f og g "producerer" relle tal, så de afbilder ind i R. Funktionen f afbilder R over i hele R og kaldes surjektiv, mens g kun afbilder R over i de ikke negative reelle tal R₊∪{0}, så den er ikke surjektiv. Man siger, at g afbilder R "på" R₊∪{0} og "ind i" R.

Hvis en funktion både er injektiv og surjektiv, kaldes den bijektiv.

En funktion er altid surjektiv på sin værdimængde.

Nu forstår jeg godt injektiv. Men surjektiv forstår jeg ikke.
Så hvis der er en hvilken som helt funktionsværdi til en funktion i et hvert punkt er den så surjektiv. Eller er  jeg helt galt på den?

Der skal være en funktionsværdi til hver x-værdi i definitionsmængden A - ellers skal du indskrænke definitionsmængden.

Hvis der er nogle y-værdier "til overs" i sekundærmængden B, som du afbilder ind i, så er funktionen ikke surjektiv. f(A) ⊂ B og man siger, at A afbildes ind i B
Hvis derimod alle y-værdier er billeder af et x, så er afbildningen surjektiv. f(A) = B og man siger, at f afbilder A på B.

Codomænet X indholder elementerne x.
Domænet Y indeholder elementerne y.

Injektiv. Elementerne i X rammer elementerne i Y højest een gang.
Surjektiv: Elementerne i X rammer alle elementerne i Y mindst én gang (også gerne flere gange)
Bijektiv: Injektiv + Surjektiv = Elementerne i X rammer alle elementer i Y een gang.

Eksempel på injektiv funktion:

Eksempel på en surjektiv funktion:

Eksempel på en bijektiv funktion:

Hvis du ikke tror mig, så prøv at tegne funktionerne for at bekræfte dette.

Jeg har stadig svært ved at forstå surjektive funktioner.  Er ikk helt med endnu.
Jeg forstår heller ikke følgende notation:

Jeg tror problemet er, at der rodes rundt i mængderne.

Vi ser på to mængder A og B. Det kan være talmængder, men kan også være andre mængder. En afbildning f afbilder elementer fra A ind i B, hvilket skrives f: A->B. f behøver ikke at afbilde alde elemeter i A. Den delmængde af A, hvis elementer afbildes ved f kaldes definitionsmængden. De elementer, der er billeder af elementer i A, udgør en delmængde af B. Denne delmængde kaldes billedmængden. Hvis billedmængden indeholder alle elementer i B, siges f at være surjektiv. Hvis der i B er elementer, der ikke er i billedmængden, siges f at være ikkesurjektiv.

Et eksempel: I et atlas er der en samling kort over landområder på jorden. Vi ser på et enkelt kort, europakortet, som vi kalder A. Der er en afbildning herfra over i mængden B, som er hele jordoverfladen. A afbildes ikke over i hele jordoverfladen, kun i europa, så denne afbildning er ikke surjektiv. Derimod, hvis vi ser på et andet kort, J, der er en udføldning af jorden, vil den tilsvarende afbildning være surjektiv.

Hvis en funktion f:A->B ikke er surjektiv, kan erstatte B med Billedmængden og derved opnå, at f₁:A->Billedmængden er surjektiv. Det er muligvis denne mulighed, der har givet problemer.

betegner de positiver reelle tal og nul, altså de ikkenegative tal. I en tekstlinie vil jeg normalt skrive R₀⁺.

Der er tilsvarende R₀^-, R⁺ og R^-. Paradoksalt nok betegner R₀ de relle tal bortset fra 0.

Der er tilsvarende for de naturlige tal, N, de hele tal, Z, og de tationale tal, Q.