Analyse 1

Eller bør jeg definere

b_n = b₁, b₂, b₃,..., b_2k-1, b_2k,...

hvor tilfældet jeg beskriver i #0 er b₁ < b₂ < ... < b_2k-1 < b_2k < ... og derefter vise, at den også gælder omvendt b₁ > b₂ > ... > b_2k-1 > b_2k > ...

Det er muligt det du skriver i starten af #0, men de kan ikke rigtigt bruges til besvarelsen. Det er ikke nødvendigt at tage ulighederne med. Tænk hvis man havde en kompleks følge frem for en reel følge.

Lad (b_n) være en eller anden følge. Du kan starte med at lege lidt med definitionen af konvergensen for følger, og så se hvad man mangler. Lad ε > 0 være givet. Idet (b_2n) og (b_2n-1) er konvergente med b, findes N₁,N₂∈N sådan at |b_2n - b| < ε og |b_2n-1 - b| < ε. Nu skal du her finde et N∈N sådan at |b_n - b| < ε.

Hint: Valget af N har med N₁ og N₂ at gøre.

Tilføjelse til #3: ... findes N₁,N₂∈N sådan at |b_2n - b| < ε for alle n≥ N₁ og |b_2n-1 - b| < ε for alle n≥ N₂. Nu ...

Skal argumentationen så løbe sådan.
Hvis vi sætter N = max{N₁,N₂}, så må der gælde at |b_n - b| < ε for alle n>N.

Eller... Eksempelvis; n>N₁ og n>N₂, vi fandt måske dette n til at være 100
b_2n = b_2·100 = b₂₀₀ hvor n ≥ 100=N₁ 
b_2n-1 = b_2·100-1 = b₁₉₉ hvor n ≥ 100=N₂
Derfor må der gælde, at hvis b_2n og b_2n-1 konvergere, og der eksistere et n>N₁ og n>N₂ (hvilket der gør). Så gælder der at for n→∞, så må der gælde |N₁ - N₂| = 0 og derfor må N₂ → N₁. Da {b_2n} ⊂ {b_n} og
{b_2n-1} ⊂ {b_n} så må der også gælder, at |b_n - b|<ε for alle n ≥ N₁,N₂.

Dit valg af N er ikke korrekt. Din sidste paragraf giver desværre ingen mening. Hvorfor gælder |N₁ - N₂| = 0? Du kan vælge et passende N på følgende måde. Men jeg giver dig en ledetråd. Lad ε > 0 være givet. Der findes et naturligt N₁ sådan at |b_2n - b| < ε for alle n≥ N₁. Det er ækvivalent med |b_n - b| < ε for alle n≥ 2N₁. Gør det på samme måde for den anden delfølge. Kan du så finde et N ud fra disse?