Matematik

Punktvis konvergens

16. maj 2017 af NetteLind (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa

Jeg sidder med denne aflevering. Den er vedlagt.

Jeg har en løsning til opgaven, men jeg er meget i tvivl om det giver mening. Min løsning er:

Tag x tilhørende R. Lad epsilon >0.

Hvis x> - uendelig eller x < uendelig medfører dette af fn(x)=0. dvs. fn(x) går mod 0 for x forskellig fra 0.

Hvis x=0, så er fn(x)=e^(-n)^2 for alle n tilhørende de naturlige tal., så fn(0) går mod e^(-n)^2

Dvs. fn(x) går punktvis mod f(x)= e^(-n)^2 for x=0 og 0 for x forskellig fra 0.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-05-16 kl. 13.18.55.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. maj 2017 af fosfor (Slettet)

Punktvis betyder at x er givet, derfor kan du indsætte n = m - x , og lade m gå mod uendelig

$\lim_{n\to\infty}e^{-(x-n)^2} = \lim_{m\to\infty}e^{-(x-m-x)^2} = \lim_{m\to\infty}e^{-m^2}\overset{??}{=}0$

Den sidste grænse giver 0, da e^x er positiv, samt at der for $0<\varepsilon<1$ kan vælges m stort så udtrykket bliver mindre end epsilon:

$m\geq \sqrt{-\log (\varepsilon )} \Rightarrow 0<e^{-m^2}<\varepsilon$

Svar #2
16. maj 2017 af NetteLind (Slettet)

Okay. Lige to spørgsmål:

Hvorfor sætter du n=m-x?

Og hvrór kommer den sidste ulighed fra? Hvordan fås kvadratrod(-log)

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. maj 2017 af fosfor (Slettet)

Så x forsvinder fra udtrykket der tages grænsen af

Isolere m i uligheden $e^{-m^2}<\varepsilon$

Svar #4
16. maj 2017 af NetteLind (Slettet)

Hvorfor vil du gerne have x til at forsvinde?

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. maj 2017 af AskTheAfghan

Du skrev "Lad epsilon >0." Men du bruger det ikke til nogle steder. Jeg ved ikke hvordan du kom frem til grænsefunktionen for x ≠ 0, selvom resultatet er korrekt. Grænsefunktionen for x = 0 er ikke korrekt.

Hint (alternativ): Hvis x ≥ 0, så er 0 < f_n(x) ≤ exp(-(n² - 2nx)). Hvis x < 0, så er 0 < f_n(x) < exp(-(x² + n²)). Overvej hvorfor. Benyt dermed klemmalemmaet.

Skriv et svar til: Punktvis konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.