Matematik

Finite differences.

03. august 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude.
Jeg har en differentiallingning som skal approksimeres numerisk, men desværre er i tvivl om jeg gør det korrekt. Jo mere kilder jeg læser, jo mere forvirrende bliver jeg.
Jeg håber, at nogen vil hjælpe med dette problem.

Jeg har en funktion f= f(t,x,y,z) hvor

$f_x =\frac{\partial f }{\partial x}= f_x(t,x,y,z)$
Jeg ved at for et tilpasseligt lille skridt i x-retning, sig $\Delta x$ har vi

$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x \approx \frac{f(t,x+ \Delta x,y,z)-f(t,x,y,z))}{\Delta x}$
For et tilpasseligt lille skridt i y-retning, sig $\Delta y$ har vi også

$\frac{\partial f}{\partial y} = f_y \approx \frac{f(t,x,y+\Delta y,z)-f(t,x,y,z))}{\Delta y}$

Således skal jeg bestemme $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \ \frac{\partial f}{\partial x}= f_{xx}$ , og det forvirrer mig meget, samtidligt forvirrer mig
$\frac{\partial}{\partial x} \ \frac{\partial f}{\partial y}= f_{xy}$ .

Jeg gør på følgende måde.
$f_{xy}=\frac{\partial}{\partial x} \ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial x} \frac{f(t,x,y+\Delta y, z)-f(t,x,y,z)}{\Delta y}\\ =\frac{f_x(t,x,y+\Delta y, z)-f_x(t,x,y,z)}{\Delta y} \\ = \frac{\frac{f(t,x+\Delta x,y+\Delta y,z)-f(t,x,y+\Delta y,z)}{\Delta x}-\frac{f(t,x+\Delta x ,y,z) -f(t,x,y,z)}{\Delta x}}{\Delta y}\\ =\frac{f(t,x+\Delta x, y+ \Delta y, z)-f(t,x,y+\Delta y,z)-f(t,x+\Delta x,y,z)+f(t,x,y,z)}{\Delta x \ \Delta y}$

Det ser forkert ud.

Hvad med
$\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f }{\partial x}= \frac{f_x(t,x+\Delta x,y,x)- f_x(t,x,y,x) }{\Delta x}$

Hvad er $f_x(t,x+\Delta x,y,x) = ?$ og f_x(t,x,y,x) = ?

Jeg håber, at nogen derude vil hjælpe med problemet.
På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. august 2017 af Eksperimentalfysikeren

"Det ser forkert ud", men det er rigtigt. Den brøk, du er kommet frem til, er korrekt.

Du indfører derefter Δx₁ og Δx₂ og får:

$\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f }{\partial x}= \frac{f_x(t,x+\Delta x,y,x)- f_x(t,x,y,x) }{\Delta x} = \\ \frac{f(t,x+\Delta x_{1}+\Delta x_{2},y,z)-f(t,x+\Delta x_{2},y,z)-f(t,x+\Delta x_{1},y,z)+f(t,x,y,z)}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}}$

helt analogt til det, du har i forvejen.

Svar #2
03. august 2017 af Rossa

1000 tak for hjælpen

Skriv et svar til: Finite differences.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.