Matematik

Hvor langt er der til kysten?

23. september 2017 af Emma565 (Slettet) - Niveau: B-niveau

På et skib ønsker man at bestemme afstanden til kysten. I den anledning måler man vinklen mellem vandret og sigtelinjen til toppen af en klippe ved kysten. Derefter sejler man 25 m lige ind mod kysten og gentager venkelmålingen. Hvor langt er der til kysten når de to vinkler er 25 (grader) 28 (grader)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. september 2017 af Soeffi

#0 Se evt.

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1071134

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Prøv om dette ikke er behjælpeligt :-)

Jeg undskylder påforhånd for håndskriften, jeg har en slået højrehånd disse dage.

Vedhæftet fil:IMG_2829.JPG

Svar #3
23. september 2017 af Emma565 (Slettet)

Jeg har fået at vide at min lære at jeg kun må benytte mig at sinusrelationerne og cosinus og ved ikke hvordan jeg skal gribe det an?

Svar #4
23. september 2017 af Emma565 (Slettet)

#2
Prøv om dette ikke er behjælpeligt :-)

Jeg undskylder påforhånd for håndskriften, jeg har en slået højrehånd disse dage

Jeg har fæet at vide af min lære, at jeg kun må benytte mig af sinusrelationerne og cosinus da vi har om dette lige nu i mat og ved ikke helt hvordan jeg skal gribe det an, men ellers mange tak for du prøvede på at hjælpe mig :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2017 af swpply (Slettet)

#3 Jeg har fået at vide at min lære at jeg kun må benytte mig at sinusrelationerne og cosinus og ved ikke hvordan jeg skal gribe det an?

Prøv at åbne den vedhæftet fil til mit tidligre opslag.

Her benytter jeg mig kun a sinus relationen og den kendgerning at sin(π - x) = cos(x).

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Skriv, hvis der er noget der ikke er helt klart :-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Benytter du sinusrelationerne på den store af de to retvinklede trekanter, kan du skrive

$\begin{align*} \frac{h}{\sin(\alpha)} &= \frac{a+b}{\sin(\pi+\alpha)} \\ &= \frac{a+b}{\cos(\alpha)} \qquad\Leftrightarrow \\ h &= (a+b)\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\ &= (a+b)\tan(\alpha). \end{align*}$

Ligeledes, hvis du bruger sinusrelationerne på den lille af de to retvinklede trekanter, kan du skrive

$\begin{align*} \frac{h}{\sin(\beta)} &= \frac{b}{\sin(\pi+\beta)} \\ &= \frac{b}{\cos(\beta)} \qquad\Leftrightarrow \\ h &= b\frac{sin(\beta)}{\cos(\beta)} \\ &= b\tan(\beta). \end{align*}$

Vi har dermed at

$\begin{align*} (a+b)\tan(\alpha)= b\tan(\beta) \qquad\Longleftrightarrow\qquad b &= a\frac{\tan(\alpha)}{\tan(\beta)-\tan(\alpha)} \\ &=25\,m\cdot\frac{\tan(25^\circ)}{\tan(28^\circ)-\tan(25^\circ)} \\ &= 178.2\,m \end{align*}$

Hvorfor at afstanden til kysten var

$\begin{align*} a+b &= 25\,m + 178.2\,m \\ &= 203.2\,m \end{align*}$

Svar #9
24. september 2017 af Emma565 (Slettet)

#8
Benytter du sinusrelationerne på den store af de to retvinklede trekanter, kan du skrive

har du en anden metode at regne det ud på? Uden at bruge tan(x)

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. september 2017 af swpply (Slettet)

Ja, du kan bare lade være med at forenkle udtrykkende sin(π - α) og sin(π - β). Derved kan du skrive sinusrelationerne for den store trekant som

$\frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{a+b}{\sin(\pi-\alpha)} \qquad\Longrightarrow\qquad h = (a+b)\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}.$

Og tilsvarende for den lille af de to tekanter

$\frac{h}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\pi-\beta)} \qquad\Longrightarrow\qquad h = b\frac{\sin(\beta)}{\sin(\pi-\beta)}.$

Og da du selvfølgelig har at h = h, giver ovenstående at

$(a+b)\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}= b\frac{\sin(\beta)}{\sin(\pi-\beta)}.$

Fra dette udtryk kan du simpelt isolere b, hvorfor

$b = a\cdot\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}}{\frac{\sin(\beta)}{\sin(\pi-\beta)} - \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\pi - \alpha)}}$

Indsætter du nu værdierne a = 25m, α = 15°, og β = 28° i ovenstående (HUSK π = 90°), finder du at

$b = 178.2\,m$ .

Hvorfor at afstanden til kysten var

$\begin{align*} a + b &= 25\,m + 178.2\,m \\ &= 203.2\,m \end{align*}$

— Her bruger jeg ikke anden viden om de trigonometriske funktioner, end sinusrelatonerne.

Svar #11
24. september 2017 af Emma565 (Slettet)

Mange tak forstår det bedre, men vil du ikke skære ud i pap hvordan du isolere h i de to forskellige trekanter?

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. september 2017 af swpply (Slettet)

Jeg ganger med sin(alpha) på begge sider af lighedstegnet i første tilfælde og ganger med sin(beta) på begge sidde af lighedstegnet i det sidste tilfælde.

Svar #13
24. september 2017 af Emma565 (Slettet)

#12
Men burde det ikke se sådan ud?

Vedhæftet fil:image.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. september 2017 af swpply (Slettet)

Nej.

Brugbart svar (0)

Svar #15
25. september 2017 af swpply (Slettet)

Mere præcist skal du i den store af trekanterne bruge komplementcinklen til α. Dette er fordi at trekanten er retvinklet. Altså er samtlige vinkler i den store af trekanterne α, 90°, og (90°- α)... Ikke (90°- β).

På samme vis er samtlige vinkler i den lille trekant, β, 90°, og (90°- β). Hvilket det virker til at du har rigtig nok fat i.

NB. Jeg er lidt i tivil om spørgmålet spørger efter afstanden (a + b) eller blot b.

Svar #16
25. september 2017 af Emma565 (Slettet)

#15
Man skal kun finde siden b

Brugbart svar (0)

Svar #17
25. september 2017 af fosfor (Slettet)

Sæt de to udtryk for h lig hinanden og isoler b

Du bør glemme sinus/cosinus relationerne i denne opgave

Vedhæftet fil:fig.png

Brugbart svar (0)

Svar #18
25. september 2017 af fosfor (Slettet)

Sinus-relationerne giver hypotenusen

hyp = 25 / sin(180 - 28 + 25) * sin(28)

Hvorefter b kan bestemmes ved

b = cos(25) * hyp - 25 = 178.247

Svar #19
25. september 2017 af Emma565 (Slettet)

#18

Men forstår ikke hvorfor du siger 180 - 28 + 25

a / sin(A) = b / sin(B)
b = sin(B) x a / sin(B)
?

ellers forstår jeg resten :)

Brugbart svar (0)

Svar #20
25. september 2017 af fosfor (Slettet)

Sinus til en vinkel i en trekant giver det samme, som sinus til summen af de to andre vinkler:
sin(A) = sin(B + C)

Dvs. i stedet for at dividere med sinus til den overforliggende vinkel, så kan man dividere med sinus til summen af de to andre vinkler, hvis værdier er 25 og 180-28.

Men du kan også i stedet bruge den overforliggende vinkel, som er 180 - (180 - 28) - 25

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.