Matematik

Differentialligning

04. december 2017 af pokemonorm - Niveau: A-niveau

Hejsa er der nogle der kan hjælpe mig md følgende differentialligning - Med hjælpemidler.

Der er givet følgende differentialligning $dy/dx= 3x^2*e^{-y},$
En funktion f er løsning til differentialligning, og dens graf går gennem punktet P(0,1).

Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. december 2017 af mathon

Separation af de variable:
$\small e^y\, \mathrm{d}y=3x^2\, \mathrm{d}x$ $\small \text{integration:}$

$\small \int e^y\, \mathrm{d}y=\int 3x^2\, \mathrm{d}x$

$\small e^y=x^3+C$

$\small y=\ln\left (x^3+C \right )$

samt
$\small 1=\ln\left (0^3+C \right )$

$\small e=C$
hvoraf
$\small y=\ln\left (x^3+e \right )$

Svar #2
04. december 2017 af pokemonorm

Hvor får du det 1 og 0 fra, Mathon?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2017 af mathon

Grafen for $\small y=F(x)\text{ g\aa r gennem P(0,1).}$

Svar #4
04. december 2017 af pokemonorm

Hvordan bestemmer man definitionsmængden??

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. december 2017 af ringstedLC

#4
Hvordan bestemmer man definitionsmængden??

må parentesen være negativ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. december 2017 af mathon

$\small x>\sqrt[3]{-e}$

Svar #7
07. december 2017 af pokemonorm

Hej igen Mathon :)
Har stadig ikke helt forstået, hvordan du er kommet frem til, det udtryk du har skrevet op.
Vil du uddybe lidt? :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. december 2017 af mathon

løsningskontrol:

Hvis
$\small y=\ln\left (x^3+e \right )$
er
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x^3+e}\cdot 3x^2$
og
$\small e^y=x^3+e$

$\small e^{-y}=\frac{1}{x^3+e}$
hvoraf:
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=3x^2\cdot \frac{1}{x^3+e}$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\mathbf{\color{Red} 3x^2\cdot e^{-y}}$

altså er
$\small y=\ln\left (x^3+e \right )$
løsningen til
$\small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= 3x^2\cdot e^{-y}$

Svar #9
07. december 2017 af pokemonorm

Hov, jeg mente #6.

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. december 2017 af mathon

Grafen for

$\small y=\ln\left (x^3+C \right )$ skal indeholde punktet (x,y) = (0,1)
dvs y = 1 for x = 0
$\small 1=\ln\left (0^3+C \right )$

$\small 1=\ln\left (C \right )$

$\small e^1=e^{\ln\left (C \right )}$

$\small e=C$
hvoraf
$\small y=\ln\left (x^3+e \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. december 2017 af mathon

og
$\small y=\ln\left (x^3+e \right )\; \; \; \; \; \; x^3+e> 0$

$\small x^3+e> 0$

$\small x^3> -e$

$\small x>\sqrt[3]{ -e}$

Svar #12
08. december 2017 af pokemonorm

Hej igen Mathon.
Jeg har lige nogle spørgsmål til #11.

Hvad bliver der af ln?
Hvordan får du 3kvadratrod -e?

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.