Middel værdie af en funktion f(X) hvor X er stokastisk med kendt middelværdi

04. december 2017 af pure07 - Niveau: Universitet/Videregående

Lad X være en stokastisk variabel med middelværdi m. Hvad kan man sige om udtrykket:

$E[e^{c*X}]$

Hvor c er en konstant. Hvilke regneregler gør sig gældende her?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2017 af SådanDa

Du kan vudere på den vha. Jensens ulighed. Men jeg ved ikke hvad du vil frem til?

Svar #2
05. december 2017 af pure07

#1 Jeg tænkte mere om man kunne omskrive så vi slet ikke have nogen expected value eller X med i stedet m,.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. december 2017 af SådanDa

Et simpel eksempel:

lad X være stokastisk så

P(X=1) = 1/2, P(X=3) = 1/2, P(X=x) = 0, x∉{1,3} her er E[X] = 2 og E[e^X] = (e+e³)/2

Lad Y være en anden stokastisk variabel så:

P(X=0) = 1/2, P(X=4) = 1/2, P(X=x) = 0, x∉{0,4} her er E[X] = 2 og E[e^X] = (e⁰+e⁴)/2 = (1+e⁴)/2 ≠ (e+e³)/2

Altså afhænger din middelværdi ikke udelukkende af middelværdien m, men også af fordelingen af X.

men igen pr. Jensens ulighed har du at E[e^cX] ≥ e^cE[X]=e^cmsom kun afhænger af m. det er i hvert fald en nedre grænse

Svar #4
05. december 2017 af pure07

#3 Lad os tage et andet konkret eksempel. Las os antage at X er standard normaltfordelt ... Hvad regner man så udtrykket ?

$E[e^{c*X}], \text{for} X \sim N(0,1) \text{ og } c\in \mathbb{R}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. december 2017 af SådanDa

$\int_\mathbb{R} e^{c \cdot x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\ \textup{d}x = e^{\frac{c^2}{2}}$

Hvor integralet er regnet på wolframalpha....

Altså generelt E[g(X)] = ∫ g(x)f(x) dx, hvor f er tæthedsfunktionen for X, g er en reel funktion og hvis integralet giver mening.

Svar #6
05. december 2017 af pure07

#5 det var lige præcis dén regel jeg efterspurgte!! Tak :)

Skriv et svar til: Middel værdie af en funktion f(X) hvor X er stokastisk med kendt middelværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.