Matematik

Ellipser (andengradsligning)

11. december 2017 af Spritmeister (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle

Jeg har følgende andengradsligning x^2+16y^2-8x+32y-32=0, hvor jeg skal finde ellipsens centrum og halvakser.

Jeg ved at jeg skal benytte formlen for ellipsen med centrum i punktet (p,q): (x-p)^2/a^2+((y-q)^2/a^2=1, men kan ikke løse opgaven.

Er der en der kan hjælpe mig med at løse opgaven, herunder mellemregninger og forklaring. Er det derudover muligt at udregne ellipsens brændpunkter, såfremt jeg kender a, b og e? Jeg er bekendt med at x-koordinaten er henholdvis -ae og ae for de 2 brændpunkter, men hvordan udregnes y koordinatet?

Alt hjælp er brugbar.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2017 af StoreNord

http://wiki.mitsted.dk/?page=Ellipse

Vedhæftet fil:Ellipser.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. december 2017 af peter lind

Brug kvadratet på en toleddet størrelse x²-8x = 8x²-8x +16-16 = (x-4)²-16 tilsvarende for y

Svar #3
11. december 2017 af Spritmeister (Slettet)

Hej

Tak for billedet.

Kan du forklare mig hvordan jeg udregner de forskelle værdier for ellipsen?

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. december 2017 af mathon

x^2+16y^2-8x+32y-32=0

$\small \left (x-4 \right )^2-16+\left 16(y+1 \right )^2-16-32=0$

$\small \frac{\left (x-4 \right )^2}{8^2}+\frac{\left (y+1 \right )^2}{2^2}=1$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. december 2017 af StoreNord

Heraf kan du jo nok se, at den halve lilleakse er 2 og den halve storakse er 8. :)
Og at centrum er (4, -1).

Svar #6
11. december 2017 af Spritmeister (Slettet)

Tusind tak for hjælpen!

Jeg har nu udregnet ellipsens centrum, a, b og e.

De 2 brændpunkter har koordinatsættet (ae,y) og (-ae,y), hvorfor jeg dermed kan udregne x-koordinatet. Ved at indtegne ellipsen i et koordinatsystem, kan jeg se brændpunkterne har samme y-koordinat som ellipsens centrum. Er dette gældende for alle ellipser eller er der en måde jeg kan udregne brændpunkternes y-koordinator på?

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. december 2017 af mathon

$\small \text{der g\ae lder:}$
$\small b=a\sqrt{1-e^2}$

$\small \frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$

$\small \frac{b^2}{a^2}=\sqrt{1-e^2}$

$\small \frac{2^2}{8^2}=1-e^2$

$\small \frac{1}{4}=1-e^2$

$\small e^2=\frac{3}{4}\; \; \; \; \; \; \; \; 0<e<1$

$\small e=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{.}866$

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. december 2017 af peter lind

Det er ikke generelt. Du skal tage hensyn til at centrum ikke er i (0, 0).Du skal addere centrums koordinater. Du skal generelt også tage hensyn til at akserne evt. ikke er parallelle medx og y aksen. Det er dog ikke tilfælde her

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. december 2017 af StoreNord

https://math.stackexchange.com/questions/108270/what-is-the-equation-of-an-ellipse-that-is-not-aligned-with-the-axis

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. december 2017 af StoreNord

Slant ellipse.PNG

Vedhæftet fil:Slant ellipse.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. december 2017 af mathon

$\small \textbf{br\ae ndpunkter:}$
$\small \left ( 4-8\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2};-1 \right )=\left ( 4-4\sqrt{3};-1 \right )\text{ og }\left ( 4+8\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2};-1 \right )=\left ( 4+4\sqrt{3};-1 \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. december 2017 af mathon

$\small \text{Der findes omskrivningsformler s\aa }$ $\small \boldsymbol{x* y}-\text{leddet bliver lig med 0, hvilket g\o r beregninger langt lettere.}$

Svar #13
11. december 2017 af Spritmeister (Slettet)

Tusind tak for hjælpen alle sammen.

Det lykkes mig at løse opgaven, pga. af jeres hjælp :-)

Dette har dog ført mig videre til næste forhindring.

Jeg skal bevise ellipsens sumegenskab. Jeg har tidligere udledt ellipsens ligning og har bevist at alle punkter på ellipseperiferien, har afstanden 2a til de 2 brændpunkter. Jeg er i tvivl om ved at udlede ellipsens ligning implicit også har bevist ellipsens sumegenskab, eller dette kræver yderligere forklaring.

Jeg har fundet vedhæftet empiri om ellipsens sumegenskab, hvor det bevises at et punkt udenfor ellipseperfierien ikke kan have afstanden 2a. Mit spørgsmål går derfor på om jeg også skal bevise dette for at bevise ellipsens sumegenskab eller om det er tilstrækkelig at have udledt ellipsens ligning. I såfald er der så en der kan hjælpe med at bevise ellipsens sumegenskab, evt. udfra vedhæftet dokument, hvor jeg ikke forstår punkt (1) og (2).

På forhånd tak

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-12-11 kl. 20.52.22.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
13. december 2017 af mathon

korrektion af tastefejl:

$\small \small \frac{b^2}{a^2}=1-e^2$

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. januar 2018 af mathon

$\small \small \small \text{N\aa r der er givet en ellipse med br\ae ndpunkterne}\; F \textup{ og } F_1 \textup{, og ledelinjerne \textit{l} og } l_1 \textup{, og P er et vilk\aa rligt punkt p\aa }$
$\small \text{ellipsen, betegnes projektionerne af P p\aa\ \textit{l} og }l_1\textup{ med henholdsvis \textit{L} og }L_1.$

$\small \textup{Man har da:}$
$\small \left | FP \right |=e\cdot \left | LP \right |\; \; \; \textup{og}\; \; \; \left | F_1P \right |=e\cdot \left | PL_1 \right |$
$\small \textup{og dermed:}$
$\small \left | FP \right |+\left | F_1P \right |=e\left ( \left | LP \right | +\left | PL_1 \right |\right )=e\cdot \left | LL_1 \right |=e\cdot 2\cdot \tfrac{a}{e}=2a$

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. januar 2018 af mathon

Skriv et svar til: Ellipser (andengradsligning)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.