Hjælp til en matematik opgave

Hvilket CAS-værktøj bruger du?
Du skal løse differentialligningen med den ene betingelse.
Når du så har den, indsætter du den anden betingelse og løser ligningen mht. a.

#2 Jeg bruger Wordmat. 

Jeg har løst den med den ene betingelse og fået det jeg skrev i #1. 

Hvad skal jeg så nu? Jeg forstår ikke helt hvad du menter at jeg skal indsætte den anden betingelse, altså hvor skal jeg indsætte den? 

Er der ingen, der kan hjælpe?

#3 Ok, fejlen er nok, at du ikke har gange mellem a og y, så opfatter Wordmat det som om, der er en ubekendt a og en ubekendt y.
Når du får det rettet får du en løsning, hvor a indgår. Så indsætter du x og y fra den anden betingelse i løsningen og løser ligningen mht. a.
 

#5 Det giver ingen mening. I facit er der jo ikke noget a. 

Jeg har gjort som du har skrevet (se vedhæftet billede), men alligvel passer det formlen med næste spørgmsål.

b) Bestem hvor lang tid der går fra øllets placering i køleskabet, til øllets temperatur er 10 grader. 

Her indsætter jeg 10 og løser ligningen for x, men dette passer ikke med facit. 

Facit opgave b er: 150 min.

Hvad er det, der ikke giver mening? Du har i det, du oprindeligt fik ud både a og ay (der skulle have stået "... en ubekendt a og en ubekendt ay" i #5).

Du har bytte rundt f(75) = 15!
Du har indsat f(15) = 75.

Når du får det rettet, passer pengene - også i b).

#7 Det passede tak. 

Sidste spørgsmål til denne opgave. 

c) Bestem f'(75)

Hvordan gør jeg det?

Facit er

Der er den sædvanlige måde: Differentier f(x) og indsæt, men her kan du gøre det lidt nemmere, da du ved, at f er løsning til differentialligningen, så

#9 Det hjalp mange tak. 

Jeg sidder med en anden opgave, hvor jeg er i tvivl om en delopgave. 

Jeg har løst opgave a, b og d og jeg mangler opgave c. 

Facit er

a) 

b)  år,  i år 2002

c) 

d)  er dern øvre grænseværdi

På forhånd tak

Væksthastigheden er jo N'(t), så der er den, du skal bestemme max for.

Det kan du gøre på mindst to måder - du vælger den, der passer dig bedst.

1) Standardmetoden til at bestemme ekstrema: Differentier N'(t) og bestem nulpunkter for N''(t) = (N')'(t) . Hvis de mange ' forvirrer dig kan du jo omdøbe N'(t) til f(t) - du skal bare huske at skrive det.
Når du har bestemt nulpunkterne for den afledede, bestemmer du monotoni for selve funktionen, enten via monotonilinje eller via dens graf, og så kan du beregne max.

2. Du ved iflg. differentialligningen, at N' = 4.0644·10-6·N(66750-N) Det er et 2.gradspolynomium med N som uafhængig variabel og N' som afhængig variabel. Rødderne er iflg. nulreglen N = 0 og N = 66750. Hvis du ganger ind i parentesen, kan du se, at a er negativ, så grafen er en parabel med grenene nedad. Derfor er har N' max i toppunktet. Toppunktets 1.koordinat som jo netop angver skarvbestanden, når vækshatigheder er størst, ligger midt mellem de to rødder, N_max = ½·66 750 = 33 375.

#11. Når jeg differentier N'(t) får jeg 0. Er det rigtigt?

#12 Differentier mht. t i stedet for x, eller vis hvordan det du har gjort ser ud...

#13 Jeg har vedhæftet hvad jeg har gjort og det er også t jeg differentiere. 

Skriv N(t) i stedet for N, og skriv N'(t) på venstre siden

#15 Okay. Det har jeg gjort nu. 
 

Er det rigtigt? Svar vedhæftet

Det ser ud til at være rigtigt besværligt, men hvis jeg bruger 2. Metode i #11. 

Er det så nok at konsattere at "Det er et 2.gradspolynomium med N som uafhængig variabel og N' som afhængig variabel. Rødderne er iflg. nulreglen N = 0 og N = 66750." og self beregne N_max = ½·66 750 = 33 375.

Eller ville det være forkert?

Er der ingen, der kan hjælpe. Jeg sidder stadig fast i denne opgave.

 N' = 4.0644·10^-6·N(66750-N) =  -4.0644·10^-6N² + 0.271299N
Det vil være i orden, men det er vigtigt også at påpege, at a-værdien ( -4.0644·10-6) er negativ, så grenene er nedad, og derfor er der max i toppunktet. 
N' = 4.0644·10^-6·N(66750-N) =  -4.0644·10^-6N² + 0.271299N
Hvis a var positiv, ville grenene vende opad, og så ville der være min i toppunktet.

Det gælder helt generelt for logistisk vækst (løsning til y' = y·(b - a·y)), at kurven er stejlest, dvs. tangenthælningn er størst, hvilket igen vil sige, at y' har max ved.
Hvis I har vist det i undervisningen, kan du bare henvise til det.

Se evt. vedhæftede note om egenskaber ved logistisk vækst.