Eksponentiel

Hvordan lyder forskriften for f?

a)

Vi har at

3 = b*2^a

og

7 = b*4^a

Hvis vi dividerer den anden ligning med den første, får vi

7/3 = (4/2)^a  <=>

7/3 = 2^a  <=>

a = ln(2)/ln(7/3)  <=>

a = 0,8181

Vi kan så finde b ved at indsætte a-værdien i en af ligningerne fra før:

3 = b * 2^0,8181  <=>

b = 1,7016

Forskriften bliver

f(x) = 1,7016 * x^0,8181

b)

Hvis vi lader x vokse med 10%, dvs. at x_ny = 1,10x_gammel, så har vi

f_ny = 1,7016 * (1,10x_gammel)^0,8181  <=>

f_ny = 1,7016 * 1,10^0,8181 * x_gammel^0,8181  <=>

f_ny = 1,10^0,8181 * f_gammel  <=>

f_ny = 1,0811 * f_gammel

Så f-værdien er altså vokset med 8,11%.

Det er desuden ikke en eksponentialfunktion, men en potensfunktion.

#0: Det er ikke en eksponentiel funktion!

Hov, det er da også mig der har regnet forkert.

I bestemmelsen af a skal det være

7/3 = 2^a  <=>

a = ln(7/3)/ln(2)  <=>

a = 1,2224

Prøv selv at regne resten igennem med den rigtige a-værdi.

I #3 skulle der stå   a = ( ln(2)/ln(7/3) )^-1 

Hvis du har forskriften, så kan du jo bare regne f(1) og f(1.1)   <- x er 10% højere i den sidste

og så beregne hvilken procentvis stigning f(1.1) er af f(1)

Hvis du ikke tror på procent-procent-vækst-egenskaben ved potensfunktioner,
så kan du også prøve med f(2) og f(2.2) og se at det giver det samme.

Du sætter 1,10x ind på x's plads i forskriften:

f(1,10x) = b*(1,10x)^a  <=>

f(1,10x) = 1,10^a * b* x^a  <=>

f(1,10x) = 1,10^a * f(x)

Så når x bliver forøget med en faktor 1,10, så bliver f(x) forøget med en faktor 1,10^a.

1,10^1,2224 = 1,124

f(x) bliver altså forøget med en faktor 1,124 hvilket svarer til en forøgelse på 12,4%.