Matematik

Analytisk Geometri - HJÆLP

02. juni 2018 af afriendinneed - Niveau: C-niveau

Jeg sidder her med denne her opgave, om analytisk geometri, og jeg har virkelig ikke den fjerneste anelse om hvordan jeg skal løse den. Håber i kan hjælpe mig :)

Opgave 4. Vejskæring

Bemærk i figur 8:24 herunder, at det oprindelige skæringspunkt mellem vej1 og vej2 ligger i origo for det indlagte koordinatsystem.
Figurnummeret er fra 3. udgave - det er 8:31 i 4. udgave - af Teknisk Matematik. Som en litra d anføres et tillægsspørgsmål, der fokuserer på den matematiske model, der er tale om her.

Vedhæftet fil: analytisk geometri.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. juni 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. juni 2018 af mathon

$\small \textup{Cirkelcentrum er }(x,-500)$

$\small \textup{Ligningen for vej2:}$
$\small y=\tan(76\degree)\cdot x$
$\small \tan(76\degree)\cdot x-y=0$

$\small \textup{Centrums afstand til A er: }$
$\small \frac{\tan(76\degree)\cdot x+\left (-1 \right )\cdot (-500)}{\sqrt{1+\tan(76\degree)^2 }}=500\; \; \; \; \; \; x>0$

$\small x=300.643$

$\small \textup{Centrum har derfor koordinats\ae ttet }C(300.643\, ;-500)$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. juni 2018 af mathon

$\small \textup{Ligningen for reguleringskurven}$
$\small \textup{er:}$
$\small \left (x-300.643 \right )^2+\left (y+500 \right )^2=500^2$

Svar #4
02. juni 2018 af afriendinneed

Mange tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. juni 2018 af ringstedLC

a) x = 390.643 En trykfejl.

$\begin{align*} y=\tan (76^\circ)&\cdot x\\ (x-390.643)^2+(y+500)^2&=500^2\\ (x-390.643)^2+((\tan (76^\circ)\cdot x)+500)^2&=500^2\\ x^2+390.643^2-781.286x+16.086 x^2+500^2&+4010.781x=500^2\\ 17.086x^2+3229.495x+152601.808&=0\\ 3229.495^2-4\cdot 17.086\cdot 152601.808&=d\\ 219.989&\approx d=0\; da\; kun\; en\; l\o sning\\ \frac{-3229.495\pm \sqrt{0}}{2\cdot 17.086}&=x\\ x= -94.51&\\ y=\tan(76^\circ)\cdot (-94.51)&\\ y\approx -379.06&\\ A:(-94.51, -379.06)&\\ B:(390.643, -500)+\begin{pmatrix}0\\500\end{pmatrix}&=(390.643, 0) \end{align}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. juni 2018 af mathon

Jeg kan bekræfte trykfejlen!

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. juni 2018 af mathon

$\small \textbf{Oprindelig vejl\ae ngde mellem A og B:}$

$\small \sqrt{(0-(-94.51))^2+(0-(-379.06))^2}+390.643=781.31$

$\small \textbf{Afkortet vejl\ae ngde mellem A og B:}$

$\small \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left (\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )^2}\,\mathrm{d} x$

$\small \int_{-94.51}^{390.643}\sqrt{1+\frac{(x-390.643)^2}{(500^2-(x-390.643))^2}}\,\mathrm{d} x=663.246$

$\small \textup{Vejen fra A til B er blevet }(781.307-663.246)\;\mathrm{m}\textup{ = 118.06 m kortere.}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. juni 2018 af mathon

tastekorrektion:

$\small \small \int_{-94.51}^{390.643}\sqrt{1+\frac{(x-390.643)^2}{(500^2-(x-390.643)^2)^2}}\,\mathrm{d} x=663.246$

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. juni 2018 af ringstedLC

b) Alternativ beregning af A (Se tegning):

$\begin{align*} \angle ACh_{A,\; fod}&=90^\circ-76^\circ=14^\circ\Downarrow\\ |h_A|&=\sin(14^\circ)\cdot 500\Downarrow\\ A_{y}&=500-|h_A|\\ |a|&=\cos(14^\circ)\cdot 500\Downarrow\\ A_{x}&=C_{x}-|a|\Downarrow\\ A_{x,y}&:(-94.51,-379.06) \end{align}$

c) Uden integralregning:

$\begin{align*} |AO|&=|BO|=390.643\\ |Cirkelbue_{AB}|&=\frac{76^\circ\cdot 2\pi\cdot 500}{360^\circ}=663.225\Downarrow\\ Forkortelse&:2\cdot 390.643-663.225\simeq 118.06\;m \end{align}$

Vedhæftet fil:C_M_016 - Vejkryds, tangenter, CAS_afriendinneed.png

Svar #10
07. juni 2018 af afriendinneed

Hvor er det i har fået formlerne til jeres udregninger fra i svar #7 og #9?

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. juni 2018 af ringstedLC

Dem har jeg i en god formelsamling. Er der nogen af dem i #9 som du ikke kender til?

Svar #12
08. juni 2018 af afriendinneed

Tror det var en tastefejl, mente #5 og #9. Er lidt i tvivl om hvordan b og c skal beregnes og er særligt i tvivl om hvordan b) i svar#5 er blevet beregnet. Synes ikke umiddelbart at det ser bekendt ud

Brugbart svar (0)

Svar #13
08. juni 2018 af ringstedLC

Forklaring til #5:

A_(x, y): Skæring mellem vej2 og reguleringskurve

$\begin{align*} vej2&:y =\tan(76^\circ) \cdot x\;,inds\ae ttes\; i\\ reguleringskurve&:(x-390.643)^2+((\tan(76^\circ)\cdot x)+500)^2=500^2\\ \end{align*}$

for at bestemme x-værdien af tangentpunktet A. Ved at gange parenteserne ud og reducere fås en andengradsligning, hvis diskriminant er nul (én løsning). Med begrænsningen i decimaler fås dog ikke nul.

x sættes ind i vej2 for at beregne y-værdien af A.

B_(x, y): C parallelforskydes med vektor (0, 500)

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. juni 2018 af Soeffi

#0 Du har en dragefirkant som vist:

For den gælder, at buen AB = 2·π·|AC|·(v/360°), |AD| = |AC|·tan(v/2), v = 180° - u = 180° - (180° - 76°) = 76° og |AC| = 500.

Vedhæftet fil:dreagefirkant.png

Skriv et svar til: Analytisk Geometri - HJÆLP

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.