Matematik

Bevis formlerne for a og b for en lineær funktion hvis man kender to punkter?

16. juni 2018 af ceci097d - Niveau: C-niveau

Jeg sidder med et 'spørgsmål' til min kommende matematik eksamen, og jeg fatter simpelthen intet. Det lyder som følgende: bevis formlerne for a og b for en lineær funktion hvis man kender to punkter.

Er der nogen der måske kan forklare det på den mest idiotsikre måde?

Mange tak på forhånd:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2018 af Mathias7878

Man ved, at alle punkter, der ligger på en ret linje, opfylder funktionsforskriften:

$y = ax+b$

dvs. to vilkårlige punkter

$(x_1,y_1) \ og \ (x_2,y_2)$

kan skrives som

$y_2 = ax_2+b$

samt

$y_1 = ax_1+b$

Vi vælger nu at trække de to ligninger fra hinanden og får

$y_2-y_1 = ax_2+b-(ax_1+b)$

og ved at ophæve en minusparentes får vi

$y_2-y_1 = ax_2{\color{Red} +b}-ax_1{\color{Red} -b} = ax_2-ax_1$

vi kan da sætte a uden for en parentes, da det indgår i begge faktorer

$y_2-y_1 = a\cdot (x_2-x_1)$

og ved at dividere med $(x_2-x_1)$ fås

$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Formlen for b bevises blot ved at isolere b i formlen y = ax+b

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. juni 2018 af Sveppalyf

En lineær funktion har formen

y = ax + b

Vi får så givet to punkter på grafen: (x₁, y₁) og (x₂, y₂)

Ved at indsætte koordinaterne til de to punkter i ligningen, får vi:

y₁ = ax₁ + b

y₂ = ax₂ + b

Hvis vi gerne vil have en formel for a, kan vi trække den ene ligning fra den anden (så får vi nemlig elimineret b):

y₂ - y₁ = ax₂ + b - (ax₁ + b) <=>

y₂ - y₁ = a(x₂ - x₁) <=>

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Når man så har bestemt a, kan man finde b ved at bruge én af de to ligninger fra før. Altså enten

y₁ = ax₁ + b <=> b = y₁ - ax₁

eller

y₂ = ax₂ + b <=> b = y₂ - ax₂

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. juni 2018 af ringstedLC

Når P₁ og P₂ ligger på grafen for den lineære funktion, gælder det at:

$\begin{align*} y_2 &=ax_2+b\;,\;P_2:(x_2,y_2)\\ y_1 &=ax_1+b\;,\;P_1:(x_1,y_1)\\ \end{align*}$

Træk de to ligninger fra hinanden for at isolere a:

$\begin{align*} y_2-y_1 &=ax_2-ax_1+b-b\\ y_2-y_1 &=a(x_2-x_1)\\ a&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\;,\;x_2-x_1\neq 0 \end{align*}$

Eller beregn a ved at isolere b:

$\begin{align*} y_2&=ax_2+b\Downarrow\\ b&=y_2-ax_2\\ y_1 &=ax_1+b\Downarrow\\ b&=y_1-ax_1\Downarrow\\ y_2-ax_2&=y_1-ax_1\Downarrow\\ y_2-y_1&=ax_2-ax_1\Downarrow\\ y_2-y_1&=a(x_2-x_1)\Downarrow\\ a&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\;,\;x_2-x_1\neq 0 \end{align*}$

b beregnes ved at indsætte a og et af punkterne i funktionen:

$\begin{align*} y_1&=ax_1+b\Downarrow\\ b&=y_1-ax_1 \end{align*}$

Grafisk bevis:

Vedhæftet fil:C_M_017 - Lin. fkt., a og b_ceci097d.png

Skriv et svar til: Bevis formlerne for a og b for en lineær funktion hvis man kender to punkter?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.