Matematik

Andengradspolynomier - helt tabt!

30. august 2018 af Kraes4 - Niveau: B-niveau

Hej, Jeg er for for første gang stødt på andengradspolynomier, og jeg må indrømme jeg er helt tabt her - det plejer ellers at komme til mig når jeg sidder og kigger på formlerne, men det er bare sort snak for mig - det er som om der er noget jeg overser.
Min første opgave lyder således:

Grafen for f(x) = −x2 + bx + c har toppunkt i (2,1), Bestem b og c.

Jeg har så prøvet og google mig frem, og kan se at andre har fået et svar, og så skriver de: Du kender a, den er -1.

Hvad?? Hvordan udleder de det? er med på at a, afhængig af om positiv eller negativ viser hvilken vej parablen vender, men hvordan ved de at den er -1?

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

f(x) = (−1)x² + bx + c er givet, dvs.

a = -1
b ukendt
c ukendt

b og c kan dog bestemmes ud fra at toppunktet er (x_T, y_T) = (2,1).

Forskriften for et andengradspolynomium når du kender toppunktet er
f(x) = a(x - x_T)² + y_T

Indsæt dit kendte a og gang parentesen ud hvormed b og c kan aflæses.

Svar #2
30. august 2018 af Kraes4

Hvordan kan det være at vi bare kan smide -1 ind der? det er det jeg ikke forstår.

Havde der ikke været et minus før første led så havde a været 1?

Brugbart svar (1)

Svar #3
30. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

(-1) * noget = -noget uanset hvad "noget" er

Det er forkert hvis du tænker at −x² betyder (−x)².
−x² skal læses som −(x²)

Svar #4
30. august 2018 af Kraes4

men hvorfor lige 1? hvorfor ikke 10, eller 23? det er der jeg er helt tabt.

Svar #5
30. august 2018 af Kraes4

Arg, tror jeg har fattet den nu! Tak for det!

Brugbart svar (1)

Svar #6
30. august 2018 af mathon

$\small \begin{array} {lcccl} \textup{Grafen for}&ax^2+bx+c&\textup{har toppunkt i}&\left ( \tfrac{-b}{2a}\, ;c-a\cdot \left ( \tfrac{-b}{2a} \right )^2 \right )\\ \textup{Grafen for}&-x^2+bx+c&\textup{har toppunkt i}&\left ( 2\, ;1 \right ) \end{array}$

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small \small \frac{-b}{2\cdot (-1)}=2\Leftrightarrow \textbf{{\color{Red} b=4}}$

$\small c-(-1)\cdot 2^2=1\Leftrightarrow \textbf{{\color{Blue} c=-3}}$

Svar #7
30. august 2018 af Kraes4

Er løbet ind i et nyt problem.

Hvordan finder jeg a, b og c, udfra disse infomationer:

Det oplysess at f har nulpunkterne -2 og 4, samt at f(1) = 4.5

Har ledt og ledt, men kan ikke umiddelbart finde nogle former til at udlede konstanterne? Er der nogen der har et link til formelsamlingen der forklarer mig det?

Brugbart svar (1)

Svar #8
30. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

Forskriften for et andengradspolynomium når du kender rødderne r₁ og r₂ er
f(x) = a(x - r₁)(x - r₂)

Den eneste ubekendte er a som kan isoleres i ligningen
f(1) = 4.5
a(1 - r₁)(1 - r₂) = 4.5

Til sidst skal parenteserne ganges ud, så a, b, c kan aflæses.

Svar #9
30. august 2018 af Kraes4

Men hvordan går jeg så videre og finder b og c?
Forstår slet ikke hvordan den simple ligning hjælper med a, b og c!
Og tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. august 2018 af mathon

$\small f(x) = a(x -(-2))(x - 4)=a(x^2-4x+2x-8)=a(x^2-2x-8)$

$\small \small f(1) =a(1^2-2\cdot 1-8)=4.5\Leftrightarrow a=-\tfrac{1}{2}$

$\small \small f(x) =-\tfrac{1}{2}x^2+x+4$

Svar #11
31. august 2018 af Kraes4

Tak for hjælpen! jeg fandt løsningen.
Her er den, hvis andre får brug for det:

2004

Jeg har nulpunkterne -2 og 4, samt f(1) = 4.5
Jeg kan faktorisere polynomiet fra:
f(x) = ax^2 +bx+c = a(x-r1)(x-r2) – hvor at r står for rødderne.
Med de oplysninger jeg har kan jeg finde a, b og c.

f(x) =a(x+2)(x-4)
Indsætter mit 1tal hvor jeg ved at f(1) = 4.5
f(1) = a(1+2)(1-4)
a(3)(-3) = 4.5
-9a = 4.5
4.5 / - 9 = -0.5

a = -0.5

Nu kender jeg a.

skriver faktoriseret form, med min a-værdi.

-0.5(x+2)(x-4)
Ganger parentesen ud:
f(x) = -0.5(x2-4x+2x-8)
ganger mit a ind i.
-0.5x^2 – 3x – 4
Derfor er forskriften: f(x) = 0.5x^2 +1x + 4.
a = 0.5x^2, b = 1x, c = 4

Brugbart svar (0)

Svar #12
31. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

Ikke a = 0.5x^2, b = 1x, c = 4

Men a = -0.5, b = 1, c = 4

Svar #13
31. august 2018 af Kraes4

Ja, selvfølgelig - min fejl!

Skriv et svar til: Andengradspolynomier - helt tabt!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.