Matematik

Induktion bevis

14. november 2018 af SørenFKF - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogen der kan forklare mig hvad der sker i det "felt" jeg har markeret? Kan ikke rigtig se hvor det kommer fra. (Se vedhæftet fil)

Opgaven lyder på at jeg skal lave et induktionsbevis for \sum_{i=1}^{n}2i=n*(n+1)


Brugbart svar (1)

Svar #1
14. november 2018 af Prologue

I den ene side har du alle tal på form 2i summet op til et tal n+1. Altså fx, hvis n = 3, så ville din sum være, 2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4, eller rettere 2 + 4 + 6 + 8 = 20. 

Så notationen er egentlig kort for 2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + ... + 2*n + 2*(n+1).

Men dette jo det samme som (2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + ... + 2*n) + 2*(n+1)

Men alt det i den første parantes er jo alle de lige tal summet op til bare n. Dermed kan vi skrive det som den notation de har gjort, plus så det sidste led, hvilket er 2*(n+1)


Svar #2
14. november 2018 af SørenFKF

#1 mange tak!! Men jeg forstår stadig ikke hvor de n*(n+1) kommer fra..


Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2018 af peter lind


Brugbart svar (0)

Svar #4
14. november 2018 af peter lind

Man deler summen til n+1 op så det bliver summen til n og dertil er så lagt det n+1' led


Brugbart svar (1)

Svar #5
14. november 2018 af Prologue

De n*(n+1) er egentlig bare en hypotese, man har lavet. I dette tilfælde er du blevet givet den, og er kun blevet bedt om at bevise det er sandt, (ved at antage det er sandt, og derefter bruge induktionsbevis), men ellers har du ret i, at normalt skulle man også selv prøve at "finde frem" til formlen. Intuitivt kan det måske give mening ved at kigge det på sådan her:

Lad os kalde hele den (indviklede) sigmanotation for S, og skrive op, hvad summen egentlig betyder.

S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2*n. (Men vi kan også vende den om)

S = 2*n + (2*n-2) + (2*n-4) + (2*n-6) + ... + 4 + 2.

Hvis vi så lægger S sammen, så kan vi se et mønster.

S + S = (2 + 2*n) + (4 + 2*n - 2) + (6 + 2*n - 4) + .... (2*n + 2), hvor at vi intuitivt kan se, at alle "led" giver 2*n + 2.

Vi har dermed også alle ledene n gange.

Så S+S = 2S = n * (2n+2)

2S = n * 2 * (n+1)

Divider med 2 på begge sider.

S = n*(n+1), hvilket er der n*(n+1) "kommer fra".


Brugbart svar (1)

Svar #6
14. november 2018 af Eksperimentalfysikeren

Det påstås, at summen

\sum_{i=1}^{n}(2n)=n\cdot (n+1)

Opgaven består i at bevise, at dette er sandt. Idéen i et induktionsbevis er, at man først beviser, at påstanden er opfyldt for n=1, og derefter, at hvis den er opfyldt for n, så er den også opfyldt for n+1. Da det i trin 2 er antaget, at påstanden er opfyldt for n, kan man benytte den for n. Man kan derimod endnu ikke benytte den for n+1, det er det man beviser i trin 2.


Svar #7
14. november 2018 af SørenFKF

Mange tak for hjælpen!


Skriv et svar til: Induktion bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.