Matematik

Sigma algebra.

17. november 2018 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

$\\ \text{A parving }\mathbb{A}\text{ of }\mathcal{X}\text{ is continious from below if it for any increasing}\\ \text{sequence }A_1\subset A_2\subset\cdots\text{ of }\mathbb{A}\text{-sets holds that }\bigcup_{n=1}^\infty A_n \text{ is a }\mathbb{A}\text{-set as well}$

$\\ \text{A parving }\mathbb{A}\text{ of }\mathcal{X}\text{ is continious from above if it for any decreasing}\\ \text{sequence }A_1\supset A_2\supset\cdots\text{ of }\mathbb{A}\text{-sets holds that }\bigcap_{n=1}^\infty A_n \text{ is a }\mathbb{A}\text{-set as well}$

Problem: Show that a σ-algebra is continuous from below as well as above

(from below):

Lad

$A_1,A_2,...\in\mathbb{E}$

Så har vi

$\bigcup_{n=1}^k A_n=A_k\in\mathbb{E}$

Vi har da, at

$A_1,A_2,...\in\mathbb{E}\Rightarrow \bigcup_{k=1}^\infty \left ( \bigcup_{n=1}^k A_n \right )\in\mathbb{E}$

Ifølge definitionen af en sigma algebra om stabilitet under formationer af foreninger. Dette viser at en σ-algebra er kontinuert fra neden...

(from above)

Da vi har

$\bigcap_{n=1}^k A_n=A_1\in\mathbb{E}$

Da har vi også

$A_1,A_2,...\in\mathbb{E}\Rightarrow \bigcup_{k=1}^\infty \left ( \bigcap_{n=1}^k A_n \right )=A_1\in\mathbb{E}$

Som viser at den er kontinuert fra oven...

Er dette korrekt? Jeg syntes selv jeg har vist det som står i citatet.

Skriv et svar til: Sigma algebra.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.