Matematik

Fordoblingskonstanten?

19. januar 2019 af janiw - Niveau: B-niveau

Hej er der nogen der kan hjælpe mig med at løse denne opgave, da jeg har svært ved at udregne forblingskonstanten, idet det er uden hjælpemidler. Please vis mellemregningerne 

Vedhæftet fil: iii.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. januar 2019 af Sveppalyf

N(t) = N0 * 2t/6

N0 er antallet af individer til at starte med. Dette tal skal så ganges med 2 hver gang t vokser med 6. Så du ganger med 2 som du så opløfter til potensen t/6. Dette passer med, at efter 6 uger ganger du med 2 (da 26/6 = 2), efter yderligere 6 uger ganger du med 4 (da 212/6 = 4) hvilket svarer til at populationen på 12 uger er fordoblet to gange, osv.


Brugbart svar (0)

Svar #2
19. januar 2019 af mathon


Brugbart svar (0)

Svar #3
19. januar 2019 af mathon

                                 \small k=\frac{\ln\left (2 \right )}{T_{2}}=\frac{\ln(2)}{6\,\textup{uger} }=0.11552\; \textup{uge}^{-1}

                                 \small a=1+r=e^{0.11552}=1.1225

                                 \small r=\tfrac{p}{100}=0.1225

                                 \small p=12.25\%

Vækstraten i udviklingen af insekter er 12.25%


Svar #4
19. januar 2019 af janiw

forstår det ikke skal man ikke bruge logaritme reglen?


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. januar 2019 af ringstedLC

Du kan bruge log(2) eller ln(2). log er 10-tals logaritmen, ln er den naturlige logaritme.

Du er sikkert klar over, at der er tale om eksponentiel vækst på formen:

\begin{align*} N(t) &= N_0\cdot (1+r)^t\;,\;1+r>0 \\ \frac{N(t)}{N_0} &= (1+r)^t \\ \log\left ( \frac{N(t)}{N_0} \right ) &= \log\left ( (1+r)^t \right ) \\ \log\left ( \frac{N(t)}{N_0} \right ) &= t\cdot \log\left (1+r \right ) \;,\;\log\left ( a^r \right )=r\cdot \log(a) \\ t &= \frac{ \log\left ( \frac{N(t)}{N_0} \right )}{\log\left (1+r \right )} \end{align*}

Når antallet fordobles på 6 uger, er t = 6 og:

\begin{align*} N(t) &= 2\cdot N_0 \\ t &= 6=\frac{\log\left ( \frac{2\cdot N_0}{N_0} \right )}{\log\left (1+r \right )}= \frac{\log\left ( 2 \right )}{\log\left (1+r \right )} \\ \log\left (1+r \right ) &= \frac{\log\left ( 2 \right )}{6}=0.05 \\ 1+r &= \log^{-1}\left ( 0.05 \right )=1.12\Leftrightarrow r=0.12\approx12\% \\ \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #6
19. januar 2019 af mathon

                                 \small 1+r=a=e^k=e^{0.11552}=1.1225


Svar #7
19. januar 2019 af janiw

forstår ikke helt hvad n betyder


Brugbart svar (0)

Svar #8
19. januar 2019 af Sveppalyf

Man kan omskrive min formel til det samme:

N(t) = N0 * 2t/6  <=>

N(t) = N0 * (21/6)t  <=>

N(t) = N0 * 1,1225t


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. januar 2019 af ringstedLC

#7

forstår ikke helt hvad n betyder


N(t) er bare navnet på den funktion, der giver antallet af insekter til tiden t. Du kan kalde den, hvad du vil.


Svar #10
19. januar 2019 af janiw

Kan man kalde det f(x) istedet?

har aldrig hørt om det


Svar #11
19. januar 2019 af janiw

forstår heller ikke hvad n0 er


Brugbart svar (0)

Svar #12
19. januar 2019 af Sveppalyf

N0 er antallet af insekter til at starte med.

Du kan sagtens kalde det f(x).

f(x) = b * 2x/6


Brugbart svar (1)

Svar #13
19. januar 2019 af mathon

eller noteret

                          \small f(t)=b\cdot a^t=b\cdot e^{k\cdot t}
hvor t er tiden målt i uger og f(t) er antal insekter til tiden t.

med fordoblingskonstant 6(uger):
                          \small f(t+6)=b\cdot e^{k\cdot (t+6)}=\left (b\cdot e^{k\cdot t} \right )\cdot e^{k\cdot 6}=f(t)\cdot e^{6k}=2\cdot f(t)

                          \small e^{6k}=2

                          \small 6k=\ln(2)

                          \small k=\tfrac{\ln(2)}{6}

dvs
                          \small a^t= e^{\tfrac{\ln(2)}{6}\cdot t}=\left (e^{\ln(2)} \right )^{\frac{t}{6}}=\left (2^{\frac{1}{6}} \right )^t

                          \small a=2^{\frac{1}{6}}=1.1225

                          \small 1+r=1.1225

                          \small r=0.1225

                          \small \frac{p}{100}=0.1225

                          \small p=0.1225\cdot 100

                          \small p=12.25\%


Skriv et svar til: Fordoblingskonstanten?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.