Matematik

uligheder

14. februar 2019 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

nogen der kan hjælpe med denne her opgave

Etabler ulighederne

|sinh(x)|≤3|x| , |cosh(x) - 1|≤3|x| for |x|<1/2

ved at udnytte lærebogens eksempel 2.8.

I eksempel 2.8 står der;

"Lad os vise at exp(x) → 1 for x → 0. Vi tager udgangspunkt i standarduligheden 1 + x ≤ exp(x). Ved at gå ind i den med -x fås 1 - x ≤ exp(-x). For x < 1 kan vi omarrangere denne ulighed og opnå en vurdering af eksponentialfunktion i begge retninger,

1 + x ≤ exp(x) ≤ 1/(1 - x) for alle x < 1,

og dermed x ≤ exp(x) - 1 ≤ 1/(1 - x) for alle x < 1

(..) Vi får

|exp(x) - 1| ≤ max{|x|,|x/(1-x)|} ≤ |x| + |x|/(1-x) for x < 1

Vi er interessert i x tæt ved 0, så vi kan med sindsro fokusere på f.eks. x < 1/2, og derved opnå at

|exp(x) - 1| ≤ 3|x| for x < 1/2."

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2019 af AskTheAfghan

Kig forbi tråden.

Svar #2
14. februar 2019 af sajana

har kigget på tråden, men jeg forstår det ikke. Er det muligt at vi tager den første sammen |sinh(x)|≤3|x for jeg forstår simpelthen ikke hvad man skal

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. februar 2019 af AskTheAfghan

Du ved, at |e^x - 1| ≤ 3|x| for x < 1/2, ifølge dit eksempel. Derfor er |e^x - 1| ≤ 3|x| for |x| < 1/2. Erstatter man x med -x i den her ulighed, får man |e^-x - 1| ≤ 3|x| for |x| < 1/2. Det er de to uligheder du skal bruge.

Du har 2sinh(x) = e^x - e^-x = (e^x - 1) - (e^-x - 1). Benyt trekantuligheden til at vise, at |(e^x - 1) - (e^-x - 1)| ≤ 6|x| for |x| < 1/2.

Svar #4
14. februar 2019 af sajana

ok det giver lidt mening nu, men jeg ved ikke helt hvordan jeg kommer videre herfra

Benyt trekantuligheden til at vise, at |(ex - 1) - (e-x - 1)| ≤ 6|x|

jeg ved fra trekantsuligheden at |(e^x - 1) - (e^-x - 1)|<=||(ex - 1)||-||e^-x - 1)||

men hvordan kommer jeg så frem til at det er 6x

Brugbart svar (1)

Svar #5
14. februar 2019 af AMelev

$|\textup{sinh}(x)|=|\frac{e^x-e^{-x}}{2}|=|\frac{e^x-1+1-e^{-x}}{2}|\, ^{{\color{Red} *)}}= \frac{|e^x-1|+|1-e^{-x}|}{2}\, ^{{\color{Red} **)}}=\frac{|e^x-1|+|e^{-x}-1|}{2} \leq \frac{3|x|+3|-x|}{2}=\frac{3|x|+3|x|}{2}=3|x|$
$^{{\color{Red} *)}}$ da begge led er positive
$^{{\color{Red} **)}}$ |a - b| = |b - a|

Vedhæftet fil:Billede.jpg

Skriv et svar til: uligheder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.