Matematik

Elipse på standardform

01. april 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg er lige gang med at opfriske nogle ting.

Jeg vil gerne skrive

$0=13 y^{2}+7 x^{2}+6 \sqrt{3} x y+4 y-4 \sqrt{3} x$

På standardform, dvs.

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Ved ikke hvordan jeg skal gribe den an. Skal formentlig bruge kvadratkompletttering.

mvh.

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. april 2019 af mathon

Foretag den akserotation, der gør $6\sqrt{3}xy=0$

Svar #2
01. april 2019 af anonym000

Drejning?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. april 2019 af Capion1

Gang ligningen på standardform ud og sammenlign dernæst koefficienterne med den første ligning, du skrev.
Som du ser, optræder produktet xy, så ellipsen kan ikke sættes på standardformen, du skrev i # 0.
Benyt en rotationsmatrix.

Svar #4
01. april 2019 af anonym000

Jeg ved hvad en rotationsmatrix er. Hvis der fx skal roteres om x-aksen

$R_{x}(\theta)=\left[ \begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {\cos \theta} & {-\sin \theta} \\ {0} & {\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right]$

Ved ikke hvordan jeg skal gøre brug er den her.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. april 2019 af Capion1

Ellipsen er en sammensat afbildning, en rotation og en parallelforskydning.

Svar #6
01. april 2019 af anonym000

Nu kan jeg huske det. Tak.

Jeg kan finde ud at bruge beregningsmetoden, men har nok aldrig forstået den til bunds :-)

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. april 2019 af mathon

$\small Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\qquad\qquad\qquad(I)$

en akserotation med vinklen $\alpha$
$\textup{bestemt af ligningen:}$
$\small \tan(2\alpha )=\tfrac{B}{A-C}$
vil ændre $\textup{ligning } (I)$
$\textup{til den \ae kvivalente form: }$

$\small A{\, }'{x{\, }'}^2+C{\, }'{y{\, }'}^2+D{\, }'x{\, }'+\, E{\, }'y{\, }'+F{\, }'=0\qquad\qquad\qquad(II)$
$\textup{hvis graf er en ellipse, hvis }A{\, }'\cdot C{\, }'>0$

$\textup{De nye koefficienter forholder sig til de gamle ved ligningerne:}$

$\small \begin{array}{rcl} A{\, }'&=&A\cdot \cos^2(\alpha )+B\cdot \cos(\alpha )\sin(\alpha )+C\cdot \sin^2(\alpha )\\\\ B{\, }'&=&B\cdot \cos(2\alpha )-(A-C)\sin(2\alpha )\\\\ C{\, }'&=&A\cdot \sin^2(\alpha )-B\cdot \cos(\alpha )\sin(\alpha )+C\cdot \cos^2(\alpha )\\\\ D{\, }'&=&D\cdot \cos(\alpha )+E\cdot \sin(\alpha )\\\\ E{\, }'&=&-D\cdot \sin(\alpha )+E\cdot \cos(\alpha )\\\\ F{\, }'&=&F \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. april 2019 af mathon

Aktuelt:
$\small \tan\left ( 2\alpha \right )=\frac{6\sqrt{3}}{7-13}=-\sqrt{3}$

$\small \small \alpha =\tfrac{1}{2}\cdot \tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi }{6}=-30\degree$

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. april 2019 af mathon

$\small \begin{array}{rclcl} A{\, }'&=&7\cdot \tfrac{3}{4}+6\sqrt{3}\cdot \left ( -\tfrac{\sqrt{3}}{4} \right )+13\cdot \tfrac{1}{4}&=&4\\\\ C{\, }'&=&7\cdot \tfrac{1}{4}-6\sqrt{3}\cdot \left ( -\tfrac{1}{2} \right )\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}+13\cdot \tfrac{3}{4}&=&16\\\\ D{\, }'&=&-4\sqrt{3}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}+4\cdot \left ( -\tfrac{1}{2} \right )&=&-8\\\\ E{\, }'&=&4\sqrt{3}\cdot \left ( -\tfrac{1}{2} \right )+4\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}&=&0\\\\ F{\, }'&=&F&=&0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. april 2019 af mathon

dvs uden mærkenotation:

$\small \small 4x^2+16y^2-8x=0\qquad\qquad\qquad(II)$

$\small x^2+4y^2-2x=0$

$\small (x-1)^2-1+4y^2-2x=0$

$\small (x-1)^2+4y^2=1$

$\small \frac{(x-1)^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}=1\qquad\qquad\textup{i det akseroterede koordinatsystem.}$

Svar #11
01. april 2019 af anonym000

I hvilken gren af matematikken er vi i?

Jeg lærte ifm. anvendt real analyse.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. april 2019 af mathon

korrektion:

$\small x^2+4y^2-2x=0$

$\small \small (x-1)^2-1+4y^2=0$

$\small (x-1)^2+4y^2=1$

$\small \frac{(x-1)^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}=1\qquad\qquad\textup{i det akseroterede koordinatsystem.}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
01. april 2019 af mathon

Det er ikke en rotation om x-aksen, men en drejning i forhold til x-aksen i et xy-koordinatsystem.

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. april 2019 af mathon

Det er ikke en rotation om x-aksen, men en aksedrejning på -30° om (0,0) i forhold til x-aksen i et xy-koordinatsystem.
I dette drejede koordinatsystem har
ellipsen i det oprindelige koordinatsystem:

$\small 0=13 y^{2}+7 x^{2}+6 \sqrt{3} x y+4 y-4 \sqrt{3} x$

standardligningen:
$\small \frac{(x-1)^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}=1$

Skriv et svar til: Elipse på standardform

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.