Uafhængige hændelser

Når hændelsernne er uafhængige gælder der at P(A)+P(B) = P(A∪B) og P(B\A) = P(B)

p(A ∪ B) = 0,76   betyder at hændelse A og/eller B indtræffer med 76% sandsynlighed.
p(B) = p(A) + 0,2   betyder at hændelse B er 20% mere sandsynlig end hændelse A.

At A og B er uafhængige betyder at sandsynligheden for at både A og B indtræffer er produktet af sandsynlighederne for A og B hver især. Dvs. P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Der gælder altid P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Markeret med fed er der dermed 4 ligninger med 4 ubekendte, og 2 af de ubekendte er P(A) og P(B), så start med at løse ligningssystemet.

#1
Når hændelsernne er uafhængige gælder der at P(A)+P(B) = P(A∪B) og P(B\A) = P(B)

Hvis A og B har sandsynlighed 1, så er de altid uafhængige, og P(A ∪ B) = 1 ≠ P(A) + P(B) = 2.
P(B\A) = P(B) passer heller ikke! 

Jf. #2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) og P(A∩B) = P(A)·P(B), da A og B er uafhængige.
Indsat: 0.76 = P(A) + P(A) + 0.2 - P(A)·(P(A)+0.2)
Løs ligningen mht. P(A)

 Vi har mulige udfaldsrummet {0, 1, 2, 3} hver med sandsynligheden 1/4

Lad A = {0,1} B={2, 3} A∪B =  {0, 1, 2, 3}  A∩B = Ø

P(A) = P(B) = ½   P(A∪B) = 1 ≠ P(A)+P(B)-P(A)*P(B) = 3/4

#2 har ret i at P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) men P(A ∪ B) = 0

Se iøvrigt formel 243 side 40 i formelsamlingen

#4 A og B er  uafhængige - ikke disjunkte.