Matematik

Integere vha. substitution

02. maj 2019 af FysHjælp - Niveau: A-niveau

Nogen der kan hjælpe med at forklare hvordan man Integere vha. substitution. Trin for trin med forklaringer da jeg aldrig har forstået hvordan det foregik og skal snart til eksamen. Tak på forhånd

Svar #1
02. maj 2019 af FysHjælp

#0
Nogen der kan hjælpe med at forklare hvordan man Integere vha. substitution. Trin for trin med forklaringer da jeg aldrig har forstået hvordan det foregik og skal snart til eksamen. Tak på forhånd

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-05-02 kl. 08.12.08.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. maj 2019 af mathon

$\textup{Tag, n\aa r }F(x)\textup{ er en stamfunktion til }f(x), \textup{udgangspunkt i differentiation af den sammensatte funktion}$

$\small \left ( F(g(x)) \right ){\, }'=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$

$\textup{Integration giver:}$

$\small \int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x= F(g(x))$

$\textup{S\ae ttes her }$
$\small u=g(x)\qquad\textup{og dermed }\qquad\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=g{\, }'(x)\quad\textup{dvs}\quad\mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x$
$\textup{og}$
$\small f(a)=\alpha \quad f(b)=\beta$

$\textup{har man:}$

$\small \int_{a}^{b}f(u)\mathrm{d}u= \left [F(u) \right ]_{g(a) }^{g(b)}=\left [F(u) \right ]_{\alpha }^{\beta }=F(\beta )-F(\alpha )$

...
$\textup{M\aa ske er du vant til at s\ae tte }t=g(x)\textup{, men }t\textup{ har det med at blive 'v\ae k' i t\ae tte sammenskrivninger,}$
$\textup{hvorfor jeg benytter }u\textup{.}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. maj 2019 af mathon

Substituon kan kun anvendes,
når integralet
er på formen:
$\small \int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x= F(g(x))$

Endvidere skal du vide,
at
$\small \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\textup{ foruden at v\ae re en funktion ogs\aa \ er en br\o k.}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. maj 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. maj 2019 af mathon

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+1}\, 2x\mathrm{d}x\quad\textup{som netop er p\aa \ formen:} \small \int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x$
$\textup{hvor med}$
$\small u=x^2+1\qquad \mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$

$\small \alpha =0^2+1=1\qquad \beta =1^2+1=2$

$\small \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+1}\, 2x\mathrm{d}x=\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\, \mathrm{d}u=\left [ \ln(u) \right ]_{1}^{2}=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)$

Skriv et svar til: Integere vha. substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.