Matematik

Bevis af a^x

03. juni 2019 af Stjerneskud2016 - Niveau: B-niveau

Hej. Jeg skal lave en bevis af a^x. Og jeg har set en video hvo beviset bliver vist men jeg fortår ikke hvordan man i den sidste sætning af beviset når mna skal sætte konstanten op foran og skrive e^x skriver e^ln(a)*x. Altså hvorfor står der ikke ln(a)*e^x? Så har man jo to ln(a)? det giver ikke mening for mig.

Og den måde a kan omskrives til e^ln(a). Er det bare noget man postulerer når man laver beviset?

Mange tak på forhånd.

Vedhæftet fil: differentiation af a^x.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. juni 2019 af janhaa

$(a^x)'=((e^{\ln(a)})^x)'=\ln(a)*(e^{\ln(a)})^x=a^x*\ln(a)\\ where\\ (\ln(a)*x)'=\ln(a)$

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. juni 2019 af AMelev

ln(...) og e^... er hinandens inverse (de "ophæver hinanden"), så derfor a = e^ln(a) (der gælder også det omvendte a = ln(e^a), som du nok tiere har brugt i forbindelse med ligningsløsning).
Dermed er a^x= (e^ln(a))^x = e^ln(a)·^x? pga. potensregnereglen (aⁿ)^m = a^n·m.
?ln(a) er et tal (ligesom k), men der er en misser i "den blå sætning". Der skulle have stået (e^k·^x)' = k·e^k·^x? - tjek i din formelsamling.
Så får du (e^ln(a)·^x)' = ln(a)· e^ln(a)·^x = ln(a)· a^x.

Brugbart svar (1)

Svar #3
03. juni 2019 af Festino

Når $x$ ikke er hel, er potensopløftningen $a^x$ defineret ved $a^x=\exp(\ln(a)\cdot x)$ . Dette er det såkaldt udvidede potensbegreb, som du kan læse om på https://www.spelledoutmath.dk/doc/potens_og_rod.html. Hvis vi sætter $f(x)=\ln(a)\cdot x$ og $g(y)=\exp(y)$ , så er $a^x=(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Da differentiation af $\exp$ giver funktionen selv, følger det af reglen for differentiation af en sammensat funktion, at

$(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\exp(\ln(a)\cdot x)\cdot\ln(a)=a^x\cdot\ln(a)$ .

Skriv et svar til: Bevis af a^x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.