Matematik
Lokale ekstremaer i 3.-gradspolynomiet
Hej,
Jeg har en del af et spørgsmål til eksamen der lyder sådan:
"Bevis at hvis det for et 3.-gradspolynomium, ax^3+bx^2+cx+d, gælder at 3ac>b^2, sa° er der ingen lokale
ekstremaer i 3.-gradspolynomiet."
Jeg forstår slet ikke, hvordan man kan beviser dette, og jeg kan ikke finde noget om det i mine bøger.
Håber at der er nogle der kan hjælpe :-)
Svar #1
14. juni 2019 af peter lind
Du skal differentiere polynomiet. Hvis der er et lokalt ekstrema er f'(x) = 0 så hvis f'(x) ikke har nogle nulpunkter er der ingen lokale ekstremaer
Svar #2
14. juni 2019 af Søren2000
Skal jeg differentiere ax^3+bx^2+cx+d??
Hvis ja... hvad gør man så derefter??
Svar #3
14. juni 2019 af peter lind
Ja du skal differentiere polynomiet. Det bliver et andetgrads polynomium og du ved at for andetgrads polynomier findes der ingen løsninger for deskriminanten negativ
Svar #4
14. juni 2019 af oppenede
For polynomier gælder det altid, at hældningen er 0 dér hvor der er et ekstremum.
Derfor er det tilstrækkeligt at vise at 3ac > b2 medfører at hældningen ingen steder er 0.
Hældningen er 3ax2 + 2bx + c, som er et andengradspolynomium med d = (2b)2 - 4·(3a)·c = 4b2 - 12ac
Hvis d < 0, så er hældningen ingen steder 0. Indsæt udtrykket for d og omskriv:
4b2 - 12ac < 0
4b2 < 12ac
b2 < 3ac
Dvs. hvis b2 < 3ac så har 3ax2 + 2bx + c ingen rødder, hvilket betyder at tredjegradspolynomiet ikke kan have et ekstremum.
Skriv et svar til: Lokale ekstremaer i 3.-gradspolynomiet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.