Matematik

Lokale ekstremaer i 3.-gradspolynomiet

14. juni kl. 21:59 af Søren2000 - Niveau: B-niveau

Hej, 

Jeg har en del af et spørgsmål til eksamen der lyder sådan:

"Bevis at hvis det for et 3.-gradspolynomium, ax^3+bx^2+cx+d, gælder at 3ac>b^2, sa° er der ingen lokale

ekstremaer i 3.-gradspolynomiet."

Jeg forstår slet ikke, hvordan man kan beviser dette, og jeg kan ikke finde noget om det i mine bøger. 

Håber at der er nogle der kan hjælpe :-)


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. juni kl. 22:06 af peter lind

Du skal differentiere polynomiet. Hvis der er et lokalt ekstrema er f'(x) = 0 så hvis f'(x) ikke har nogle nulpunkter er der ingen lokale ekstremaer


Svar #2
14. juni kl. 22:15 af Søren2000

Skal jeg differentiere ax^3+bx^2+cx+d??

Hvis ja... hvad gør man så derefter??


Brugbart svar (0)

Svar #3
14. juni kl. 22:23 af peter lind

Ja du skal differentiere polynomiet. Det bliver et andetgrads polynomium og du ved at for andetgrads polynomier findes der ingen løsninger for deskriminanten negativ


Brugbart svar (0)

Svar #4
14. juni kl. 22:31 af oppenede

For polynomier gælder det altid, at hældningen er 0 dér hvor der er et ekstremum.
Derfor er det tilstrækkeligt at vise at  3ac > b2  medfører at hældningen ingen steder er 0.

Hældningen er  3ax2 + 2bx + c,  som er et andengradspolynomium med  d = (2b)2 - 4·(3a)·c = 4b2 - 12ac
Hvis d < 0, så er hældningen ingen steder 0. Indsæt udtrykket for d og omskriv: 
    4b2 - 12ac < 0
    4b2 < 12ac
      b2 < 3ac

Dvs. hvis  b2 < 3ac  så har  3ax2 + 2bx + c  ingen rødder, hvilket betyder at tredjegradspolynomiet ikke kan have et ekstremum.


Svar #5
14. juni kl. 22:34 af Søren2000

Nu forstår jeg det. Tak for hjælpen!!


Skriv et svar til: Lokale ekstremaer i 3.-gradspolynomiet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.