Integralregning

Er det her rigtigt?

Opgave 1
a. Jeg vil vise, at F(x)=1/2 x^2 er en stamfunktion til f(x)=x 
Integrationsprøven giver:
 F´(x)=(1/2 x^2 )´=2·1/2 x^(2-1)=x
Da F´(x)=f(x)=x  så er F(x)=1/2 x^2 stamfunktion til f(x)=x
b. Jeg vil vise, at G(x)=4x^3 er en stamfunktion til g(x)=12x^2 
Integrationsprøven giver:
G´(x)=(4x^3 )´=4·3x^(3-1)=12x^2
Da G´(x)=g(x)=12x^2 så er G(x)=4x^3 en stamfunktion til g(x)=12x^2
c. Jeg vil vise, at P(x)=10x^2+2x+2 er en stamfunktion til p(x)=20x+2 
Integrationsprøven giver:
P´(x)=10·2x^(2-1)+2+0=20x+2
Da P´(x)=p(x)=20x+2 så er P(x)=10x^2+2x+2 en stamfunktion til p(x)=20x+2
d. H(x)=1/(ln?(3))·3^x  er stamfunktion til h(x)=3^x 
Jeg anvender integrationsprøve og når jeg differentierer anvender jeg produktreglen som siger at:
(H(x)·G(x))´=H´(x)·G(x)+H(x)·G´(x)
H(x)=1/ln?(3) 
G(x)=3^x
H´(x)=0
G´(x)=3^x·ln?(3)
(H(x)·G(x))´=0·3^x+1/ln?(3) ·3^x·ln?(3)=3^x
Da H´(x)=h(x)=3^x så er H(x)=1/(ln?(3))·3^x stamfunktion til h(x)=3^x
Opgave 2

a. For at finde ud af om funktionen F(x)=x^8+4x^2 er en stamfunktion til f(x)=8x^7+8x anvender jeg integrationsprøven:
F´(x)=x^8+4x^2=8·x^(8-1)+4·2x^(2-1)=8x^7+8x
Når man differentierer F(x)=x^8+4x^2 så giver det 8x^7+8x. Derfor er funktionen F(x)=x^8+4x^2 en stamfunktion til f(x)=8x^7+8x.
b. For at finde ud af om G(x)=x^4+7x er en stamfunktion til g(x)=x^3+7 anvender jeg integrationsprøven:
G´(x)=4·x^(4-1)+7=4x^3+7
Når man differentierer G(x)=x^4+7x giver det ikke x^3+7. Derfor er G(x)=x^4+7x ikke en stamfunktion til g(x)=x^3+7.
Opgave 3

a.? H?_1 (x)=0,25x^4 er en stamfunktion til h(x)=x^3
Stamfunktionen til en potensfunktion finder man ved x^a=1/(a+1) x^(a+1).
Stamfunktionen til h(x)=x^3 finder jeg derfor på følgende måde:

H(x)=x^3=1/(3+1) x^(3+1)=0,25·x^4
Derfor er H_1 (x)=0,25x^4 en stamfunktion til h(x)=x^3

b. G_3 (x)=1/(ln?(2)) 2^x er en stamfunktion til g(x)=2^x
Stamfunktionen til en eksponentialfunktion af formel a^x er lig med a^x/(ln?(a)). Stamfunktionen til g(x)=2^x finder jeg derfor på følgende måde:
G(x)=2^x=1/(ln?(2)) 2^x
Derfor er G_3 (x)=1/(ln?(2)) 2^x en stamfunktion til g(x)=2^x
c. F_3 (x)=x^5+3x+3 er en stamfunktion til f(x)=5x^4+3
Jeg finder stamfunktionen F(x) ved at benytte følgende regler: 
a=a·x
 x^a=1/(a+1) x^(a+1)
F(x)=5x^4+3=5·1/5 x^5+3x+k=x^5+3x+k
Derfor er F_3 (x)=x^5+3x+3 en stamfunktion til f(x)=5x^4+3
Opgave 4

a.F_1 (x)=e^x
b.F_2 (x)=2/3 x^(3/2)
c.F_3 (x)=ln?(x)
d.F_4 (x)=1/3,5 x^3,5
e.F_5 (x)=5^x/ln?(5) 
f.F_6 (x)=-cos?(x)

Opgave 5

a.F(x)=∫¦?3x+5 dx=3·1/2 x^2+5x+k?
b.F(x)=∫¦?x^2+4x dx=2·1/3 x^3+4·1/2 x^2+k=2·1/3 x^3+2x^2+k?
c.F(x)=∫¦?√x  dx=?  2/3 x^(3/2)+k
d.F(x)=∫¦?x^9  dx=1/10 x^10+k?
e.F(x)=∫¦?cos?(x)dx=sin?(x)+k?
f.F(x)=∫¦?5 dx=5x+k?
Opgave 6

Jeg starter med at finde alle stamfunktioner for g(x):
G(x)=∫¦?-2x+5 dx= -2?·1/2 x?^2+5x+k=-x^2+5x+k?
Jeg sætter 4 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med 10. Til sidst kan jeg bestemme k:
-4^2+5·4+k=10
-16+20+k=10
4+k=10
k=10-4
k=6
Den stamfunktion til g, hvis graf går gennem punktet P(4,10) er G(x)=-x^2+5x+6 

Opgave 7

a. Jeg starter med at finde alle stamfunktioner til f:
F_1 (x)=∫¦?4x^2-3 dx=4·1/3 x^3-3x+k=0,25x^3-3x+k?
Jeg sætter 1 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med 2:
0,25·1^3-3·1+k=2
-2,75+k=2
k=2+2,75
k=4,75
Den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,2) er F_1 (x)=0,25x^3-3x+4,75
b. Stamfunktionen til f er F_2 (x)=0,25x^3-3x+k
Jeg sætter -2 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med -5. Herefter bestemmer jeg k:
0,25·(-2)^3-3·(-2)+k=-5
4+k=-5
k=-5-4
k=-9
Den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet Q(-2,-5) er F_2 (x)=0,25x^3-3x-9
c. 
Jeg har tegnet graferne for begge stamfunktioner i samme koordinatsystem vha. Geogebra.
 

d. De to stamfunktioner er lodrette parallelforskydninger af hinanden. Årsagen til dette er at stamfunktionen F(x) til funktionen f(x) kun adskiller sig med en konstant. Grunden til, at der er flere stamfunktioner, er fordi den afledte funktion af en konstant altid er 0.