Matematik

Integralregning

29. august kl. 15:14 af Lei20 - Niveau: A-niveau

Er det her rigtigt?

Opgave 1
a. Jeg vil vise, at F(x)=1/2 x^2 er en stamfunktion til f(x)=x 
Integrationsprøven giver:
 F´(x)=(1/2 x^2 )´=2·1/2 x^(2-1)=x
Da F´(x)=f(x)=x  så er F(x)=1/2 x^2 stamfunktion til f(x)=x
b. Jeg vil vise, at G(x)=4x^3 er en stamfunktion til g(x)=12x^2 
Integrationsprøven giver:
G´(x)=(4x^3 )´=4·3x^(3-1)=12x^2
Da G´(x)=g(x)=12x^2 så er G(x)=4x^3 en stamfunktion til g(x)=12x^2
c. Jeg vil vise, at P(x)=10x^2+2x+2 er en stamfunktion til p(x)=20x+2 
Integrationsprøven giver:
P´(x)=10·2x^(2-1)+2+0=20x+2
Da P´(x)=p(x)=20x+2 så er P(x)=10x^2+2x+2 en stamfunktion til p(x)=20x+2
d. H(x)=1/(ln?(3))·3^x  er stamfunktion til h(x)=3^x 
Jeg anvender integrationsprøve og når jeg differentierer anvender jeg produktreglen som siger at:
(H(x)·G(x))´=H´(x)·G(x)+H(x)·G´(x)
H(x)=1/ln?(3) 
G(x)=3^x
H´(x)=0
G´(x)=3^x·ln?(3)
(H(x)·G(x))´=0·3^x+1/ln?(3) ·3^x·ln?(3)=3^x
Da H´(x)=h(x)=3^x så er H(x)=1/(ln?(3))·3^x stamfunktion til h(x)=3^x
Opgave 2

a. For at finde ud af om funktionen F(x)=x^8+4x^2 er en stamfunktion til f(x)=8x^7+8x anvender jeg integrationsprøven:
F´(x)=x^8+4x^2=8·x^(8-1)+4·2x^(2-1)=8x^7+8x
Når man differentierer F(x)=x^8+4x^2 så giver det 8x^7+8x. Derfor er funktionen F(x)=x^8+4x^2 en stamfunktion til f(x)=8x^7+8x.
b. For at finde ud af om G(x)=x^4+7x er en stamfunktion til g(x)=x^3+7 anvender jeg integrationsprøven:
G´(x)=4·x^(4-1)+7=4x^3+7
Når man differentierer G(x)=x^4+7x giver det ikke x^3+7. Derfor er G(x)=x^4+7x ikke en stamfunktion til g(x)=x^3+7.
Opgave 3


a.? H?_1 (x)=0,25x^4 er en stamfunktion til h(x)=x^3
Stamfunktionen til en potensfunktion finder man ved x^a=1/(a+1) x^(a+1).
Stamfunktionen til h(x)=x^3 finder jeg derfor på følgende måde:

H(x)=x^3=1/(3+1) x^(3+1)=0,25·x^4
Derfor er H_1 (x)=0,25x^4 en stamfunktion til h(x)=x^3

b. G_3 (x)=1/(ln?(2)) 2^x er en stamfunktion til g(x)=2^x
Stamfunktionen til en eksponentialfunktion af formel a^x er lig med a^x/(ln?(a)). Stamfunktionen til g(x)=2^x finder jeg derfor på følgende måde:
G(x)=2^x=1/(ln?(2)) 2^x
Derfor er G_3 (x)=1/(ln?(2)) 2^x en stamfunktion til g(x)=2^x
c. F_3 (x)=x^5+3x+3 er en stamfunktion til f(x)=5x^4+3
Jeg finder stamfunktionen F(x) ved at benytte følgende regler: 
a=a·x
 x^a=1/(a+1) x^(a+1)
F(x)=5x^4+3=5·1/5 x^5+3x+k=x^5+3x+k
Derfor er F_3 (x)=x^5+3x+3 en stamfunktion til f(x)=5x^4+3
Opgave 4


a.F_1 (x)=e^x
b.F_2 (x)=2/3 x^(3/2)
c.F_3 (x)=ln?(x)
d.F_4 (x)=1/3,5 x^3,5
e.F_5 (x)=5^x/ln?(5) 
f.F_6 (x)=-cos?(x)

Opgave 5


a.F(x)=∫¦?3x+5 dx=3·1/2 x^2+5x+k?
b.F(x)=∫¦?x^2+4x dx=2·1/3 x^3+4·1/2 x^2+k=2·1/3 x^3+2x^2+k?
c.F(x)=∫¦?√x  dx=?  2/3 x^(3/2)+k
d.F(x)=∫¦?x^9  dx=1/10 x^10+k?
e.F(x)=∫¦?cos?(x)dx=sin?(x)+k?
f.F(x)=∫¦?5 dx=5x+k?
Opgave 6

Jeg starter med at finde alle stamfunktioner for g(x):
G(x)=∫¦?-2x+5 dx= -2?·1/2 x?^2+5x+k=-x^2+5x+k?
Jeg sætter 4 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med 10. Til sidst kan jeg bestemme k:
-4^2+5·4+k=10
-16+20+k=10
4+k=10
k=10-4
k=6
Den stamfunktion til g, hvis graf går gennem punktet P(4,10) er G(x)=-x^2+5x+6 

Opgave 7

a. Jeg starter med at finde alle stamfunktioner til f:
F_1 (x)=∫¦?4x^2-3 dx=4·1/3 x^3-3x+k=0,25x^3-3x+k?
Jeg sætter 1 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med 2:
0,25·1^3-3·1+k=2
-2,75+k=2
k=2+2,75
k=4,75
Den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,2) er F_1 (x)=0,25x^3-3x+4,75
b. Stamfunktionen til f er F_2 (x)=0,25x^3-3x+k
Jeg sætter -2 ind på x´s plads og sætter funktionen lig med -5. Herefter bestemmer jeg k:
0,25·(-2)^3-3·(-2)+k=-5
4+k=-5
k=-5-4
k=-9
Den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet Q(-2,-5) er F_2 (x)=0,25x^3-3x-9
c. 
Jeg har tegnet graferne for begge stamfunktioner i samme koordinatsystem vha. Geogebra.
 

d. De to stamfunktioner er lodrette parallelforskydninger af hinanden. Årsagen til dette er at stamfunktionen F(x) til funktionen f(x) kun adskiller sig med en konstant. Grunden til, at der er flere stamfunktioner, er fordi den afledte funktion af en konstant altid er 0. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
29. august kl. 16:19 af Dennis329324

Har du skrevet det her i et matematik program? Det ville danne et bedre overblik for mig :) 


Svar #2
29. august kl. 16:51 af Lei20

Jeg kan desværre ikke sende den som vedhæftet fil.


Brugbart svar (0)

Svar #3
29. august kl. 16:53 af Dennis329324

Kan du evt lave et screenshot? Det ville hjælpe en del (eller er upload delen helt væk? evt, lav et gyazo link, hvis du ved, hvad det er. 


Svar #4
29. august kl. 20:35 af Lei20

Kan du hjælpe med disse opgaver?

Opgave 1.

En funktion er givet ved forskriften g(x) = -2x+5

a. bestem den stamfunktion til g, hvis graf går gennem punktet P(4,10)

Jeg fik det til G(x) = -x^2 + 5x + 6. Er det rigtigt?

Opgave 2.

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 4x^2 - 3

a. bestem den stamfunktion F_1 til f hvis graf går gennem punktet P(1,2)

Fik det til F_1(x) = 0,25x^3 - 3x + 4,75. 

b. Bestem den stamfunktion F_2(x) til f hvis graf går gennem punktet Q(-2,-5)

Fik det til F_2(x) = 0,25x^3 - 3x - 9


Brugbart svar (0)

Svar #5
29. august kl. 21:08 af Dennis329324

1) G(x):= -x^2+5x+c, indsæt 4 i G; G(4)=10, så det vel (-4)^2+5*4+c = 10, isoler c på venstresiden ved at trække fra på begge sider)

2) 1.33x^3-3x+c, samme --> F(1)=2, altså c må her være 3.67 F(x):=1.33x^3-3x+3.67

3) forstår ikke lige hvad f_2 skal betyde? har du et screendump?


Brugbart svar (0)

Svar #6
29. august kl. 21:27 af Dennis329324

Husk i integralregning; for og gøre det lettere for dig selv, anvend konstant reglen; eks f(x):2x+4, da du har en konstant ganget på x kan du flytte den udenfor integraltegnet og bare integrere x --> 0.5x^2 gang konstanten på bagefter :) 


Brugbart svar (0)

Svar #7
29. august kl. 21:28 af ringstedLC

a) Hvis G(x) er rigtig (du har sikkert gjort prøve), skal der gælde:

\begin{align*} G(x) &= -x^2+5x+6 \\ G(4)=10 &= -(4)^2+5\cdot 4+6 \end{align*}

for at din "c" er rigtig.


Brugbart svar (0)

Svar #8
30. august kl. 09:48 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{Opgave 2.}\\ &&\textup{En funktion er givet ved forskriften}\\\\&& f(x) = 4x^2 - 3\\\\ &\mathbf{a.} &\textup{bestem den stamfunktion } F_1\\&& \textup{til f hvis graf g\aa r gennem punktet P(1,2)}\\\\ &&F_1(x)=\frac{4}{3}x^3-3x+k_1\\\\ &&F_1(1)=\frac{4}{3}\cdot 1^3-3\cdot 1+k_1=2\\\\ &&\frac{4}{3}+k_1=5\\\\ &&k_1=5-1-\frac{1}{3}=4-\frac{1}{3}=3\tfrac{2}{3}=\frac{11}{3}\\\\ &&F_1(x)=\frac{4}{3}x^3-3x+\frac{11}{3}\\\\\\\\ &\mathbf{b.} &\textup{bestem den stamfunktion } F_2\\&& \textup{til f hvis graf g\aa r gennem punktet Q(-2,-5)}\\\\ &&F_2(x)=\frac{4}{3}x^3-3x+k_2\\\\ &&F_2(-2)=\frac{4}{3}\cdot (-2)^3-3\cdot (-2)+k_2=-5\\\\ &&-\frac{32}{3}+k_2=-11\\\\ &&-10-\frac{2}{3}+k_2=-11\\\\ &&-\frac{2}{3}+k_2=-1\\\\ &&k_2=-\frac{1}{3}\\\\ &&F_2(x)=\frac{4}{3}x^3-3x-\frac{1}{3} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
30. august kl. 10:02 af AMelev

#0 
Ad Opgave 1 d
1/ln(3) er et tal, så det havde været lettere at bruge reglen for konstant · funktion i stedet for produktreglen.

Vi kan ikke rette det hele - det er din lærers opgave, men umiddelbart ser det ud til, at du har styr på sammenhængen mellem afledet funktion og stamfunktion.

#4 Lav en ny tråd for hver ny opgave - ellers bliver det noget roderi.


Svar #10
30. august kl. 21:24 af Lei20

Mathon er det forkert at skrive 1,33 i stedet for 4/3? I opg a får jeg k = 3,67 og i b får jeg k = -0,36 i stedet for -0,33.


Svar #11
30. august kl. 22:21 af Lei20

#8
Mathon er det forkert at skrive 1,33 i stedet for 4/3? I opg a får jeg k = 3,67 og i b får jeg k = -0,36 i stedet for -0,33.

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. august kl. 22:29 af ringstedLC

På dit niveau skal du kunne regne med eksakte værdier:

\begin{align*} \frac{11}{3} &= 3.67 \text{ , hvis og kun hvis, resultatet skal beregnes med to decimaler.} \end{align*}


Svar #13
31. august kl. 08:00 af Lei20

#12
På dit niveau skal du kunne regne med eksakte værdier:

Så det skal være 3,67 i stedet for 11/3

Brugbart svar (0)

Svar #14
31. august kl. 09:09 af Dennis329324

Ja

Brugbart svar (0)

Svar #15
31. august kl. 09:17 af AMelev

#13 Hvis det skal være helt korrekt skal det være 11/3.
Eksakt input bør give eksakt output og tilsvarende afrundet input give afrundet output, men det er en lille detalje.

Brugbart svar (0)

Svar #16
31. august kl. 09:49 af Dennis329324

Altså  - Vi kan tage et eksempel min tidligere matematik lærer tog brug af, han sagde "Forestil dig, at du går ned til bageren og beder om 11/3 drømmekage, så ville ekspedienten nok kigge lidt mærkeligt på dig :)" Men ja, eksakte værdier vil næsten altid være det bedste estimerede gæt.


Brugbart svar (0)

Svar #17
31. august kl. 12:55 af Soeffi

#13.

Efter min mening har det ikke noget med niveau at gøre, men om der er tale opgaver uden hjælpemidler eller opgaver med hjælpemidler.

Hvis det er med hjælpemidler, vil man forvente decimaltal, mens man vil forvente eksakte værdier for opgaver uden hjælpemidler.


Brugbart svar (0)

Svar #18
31. august kl. 13:44 af ringstedLC

#17: Du har en pointe omkring niveau, men i en opgave som:

\begin{align*} x &= \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{3}\Rightarrow x\approx0 \vee x\approx0.1\vee x\approx0.11\vee x=0.(...?)\text{ (m. hj.-midler)} \\ x &= \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{3}\Rightarrow x=\tfrac{1}{9} \text{ (u. hj.-midler)}\end{align*}

ville du altså svare således. Jeg hælder nu til #15: "Eksakt input → eksakt output", medmindre facit forlanges afrundet. Det man ved uden hjælpemidler, ved man vel også med hjælpemidler.


Skriv et svar til: Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.