Matematik

Uafhængighed og konvergens

27. september 2019 af kgsklo - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle, håber nogen kan hjælpe mig med følgende opgave:

Lad $X_1, X_2,...,Y_1, Y_2,..., W_1,W_2,...$ være uafhængige.

$X_n$ er identisk fordelte med $EX_n=0, EX_n^2=1$ .

Antag endvidere at $EY_n=0, EY_n^2=n^2$ .

Tilsidst har vi, at $W_n$ er bernoulli-fordelt med . $P(W_n=0) = 1-1/n^2, P(W_n=1) = 1/n^2$

Definer $Z_n = X_n +W_nY_n$ .

Jeg skal hermed vise, at $\sum_{i=1}^n W_iY_i$ konvergerer "næsten sikkert".

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2019 af LeonhardEuler

Benyt Second Borel-Cantelli i Advanced Probability.

ΣP(W_nY_n ≠ 0) ≤ ΣP(Wn = 1) = Σ 1/n² < ∞

heraf fås

P(W_nY_n = 0 evt.) = 1

Svar #2
30. september 2019 af kgsklo

For at kunne benytte dette, skal WnYn være uafhængige. Er det nok at sige, at produktet af 2 uafhængige stokastiske variable også er uafhængige? Derudover skal WnYn være Borel-mulige? Hvordan vises det?

Jeg kan ikke helt se hvordan du bruger second Borel-cantelli. Helt specifikt forstår jeg ikke følgende:

$\sum P(W_nY_n \neq 0)$

I bogen er det bare P(An), og jeg tænker An=WnYn? Mit spørgsmål er bare, hvordan kan du bare tilføje "ikke lig 0"?

Svar #3
30. september 2019 af kgsklo

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. september 2019 af LeonhardEuler

Ja, men hvis du vil vise det formelt, så start med at vise (Wn, Yn) er uafhængige og tag derefter en borel-funktion af den.

Hvad mener du med borel-mulig?

An er en mængde. Det samme er WnYn forskellig fra 0.

Svar #5
30. september 2019 af kgsklo

Hvordan viser jeg det formelt og hvordan viser jeg, at de er Borel mulige.

Hvorfor er din første sum mindre end den næste? Altså “mindre end eller lig med”. Kan ikke se hvorfor det gælder?

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. september 2019 af LeonhardEuler

Du vil gerne vise at (W_i,Y_i)_i∈N er uafhængige. Du behøver kun at vise resultatet på generatoren af sigma-algebraen. For ethvert endelig J∈N, og borelmængder A_i,B_i

$P\left ( \bigcap_{i\in J} (X_i,Y_i)\in A_i\times B_i \right ) =P\left ( \bigcap_{i\in J} \left (X_i \in A_i, Y_i \in B_i \right )\right )\\ =\prod_{i\in J}P(X_i \in A_i, Y_i \in B_i ) =\prod_{i\in J} P\left ( (X_i,Y_i)\in A_i\times B_i \right )$

Benyt nu funktionen f(x,y) = xy på (W_i,Y_i)_i∈Nog benyt lemma1.3.7.

For dit andet spørgsmål så bemærk at (W_nY_n ≠ 0) ⊆ (W_n = 1). For at produktet skal være forskellig fra nul, så skal begge faktorer være forskellig fra nul. Især skal W_n være forskellige fra nul, men den er koncentreret på {0,1}, så der er kun mulighed for 1.

Jeg forstår dog ikke, hvad du mener med "Borel mulige"? Menes der borel-målelige? Selv der kan jeg ikke se, hvad du hentyder til.

Svar #7
30. september 2019 af kgsklo

Det er fordi før jeg kan bruge Borel Cantelli, skal de nemlig være uafhængige og lige i mathbb(F), dvs være Borel-målelige.
Tror bare jeg undlader at vise, at de er uafhængige, fordi forstår ikke rigtig dit bevis for uafhængigheden :)
Forstår stadig ike helt hvorfor mit andet spørgsmål gælder? Kan du måske skærer det yderligere ud i pap? :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. september 2019 af LeonhardEuler

Hvis du bare siger, at de er uafhængige, så går det nok. Som regel viser man ikke uafhængighed så formelt, men nu bad du selv om det. Apropos det andet, så er sættet klart måleligt, fordi din stokastiske variabel er borel-målelig. Du kigger nemlig på (WnYn ? R\{0}), hvor R\{0} er en borel mængde.

Jeg synes nu, at det er skåret ud i pap. Hvis WnYn ? 0 så skal både Wn ? 0 og Yn ? 0, specielt betyder Wn ? 0 at Wn = 1.

Svar #9
30. september 2019 af kgsklo

Tusinde tak for hjælpenn jeg forstår det nu!! :)

Jeg har lige et andet spørgsmål: Hvis vi har to uafhængige stokastiske variable X og Y, er $X^2 og Y^2$ så også uafhængigt?

Svar #10
30. september 2019 af kgsklo

Forresten forstår jeg ikke helt hvorfor du har vist, at den konvergerer næsten sikkert?

Er det fordi at P(W_n Y_n = 0 evt.) = 1 er det samme som næsten sikker konvergens, og i så fald hvor har du det fra?

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. september 2019 af LeonhardEuler

Med ssh 1 vil ledene i din sum blive nul fra en grænse af. Altså er din sum endelig og derfor konvergerer den.

Svar #12
30. september 2019 af kgsklo

Super tak for det :-)

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. september 2019 af LeonhardEuler

Til dit spgm i #9 så ja. Det er lemma 1.3.7.

Svar #14
01. oktober 2019 af kgsklo

Tusinde tak for hjælpen. Jeg har lavet et nyt opslag med en anden opgave. Mon du lige vil se, om jeg har lavet den rigtig, eller om der er nogle småfejl? :-)

Svar #15
01. oktober 2019 af kgsklo

Jeg når frem til dette udtryk P(W_n Y_n = 0 evt.) = 1... hvordan kan jeg nu argumentere for, summen af WnYn konvergerer næsten sikkert?

Brugbart svar (0)

Svar #16
01. oktober 2019 af LeonhardEuler

P(W_nY_n = 0 evt.) = 1

betyder at for ethvert ω findes et N, sådan for n > N så vil W_nY_n = 0. Du har derfor at $\sum_{i=1}^{\infty}W_nY_n=\sum_{i=1}^{N}W_nY_n+\sum_{i=N+1}^{\infty}W_nY_n=\sum_{i=1}^{N}W_nY_n+\sum_{i=N+1}^{\infty}0=\sum_{i=1}^{N}W_nY_n$

altså summen er endelig og hermed konvergent. Bemærk at ω er fra en n.s. mængde, derfor gælder resultatet n.s.

Svar #17
01. oktober 2019 af kgsklo

Hvordan får du 0 efter anden lighedstegn?
Og vi er enige i, at du mener n og ikke “ i “ i summens nedre grænse?

Brugbart svar (0)

Svar #18
01. oktober 2019 af LeonhardEuler

Vi er enige. Det var en ups'er fra min side.

Det står lige ovenover: "sådan for n > N så vil W_nY_n = 0."

Svar #19
02. oktober 2019 af kgsklo

Så er jeg med...
Er der nogle argumentationer eller andre detaljer, der mangler? :)

Vedhæftet fil:8A57A7A8-0F93-4D25-BC7A-CD23A0B28633.png

Skriv et svar til: Uafhængighed og konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.