Matematik

Absolut og betinget konvergens

19. maj 2020 af fysik4 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogle som kan hjælp med følgende opgave?

Afgør om følgende række er absolut konvergent, betinget konvergent eller divergent.

Udtrykket er vedhæftet nedenfor.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-05-19 kl. 14.32.00.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. maj 2020 af Soeffi

#0. Benyt evt. at der er tale om en alternerende række:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{cos (\frac{\pi \cdot n}{2}) }{\sqrt{n}\cdot ln(n)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n}\cdot ln(2n)}$

Svar #2
19. maj 2020 af fysik4

Jeg er også kommet frem til, at man skal bruge den alternerende række, men jeg forstår ikke, hvordan jeg kommer videre derfra.

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. maj 2020 af swpply (Slettet)

Først brug konvergens testen for en alternerende række (LINK) til at slutte at din række konvergere. Hvis derefter at den tilhørende positive række divergere imod +∞ og dernest at den tilhørende negative række divergere imod -∞.

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. maj 2020 af Soeffi

#2. Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=DRO1kPT4iS8.

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. maj 2020 af swpply (Slettet)

Ja eller afsnittet om alternerende rækker i T. Lindstrøms Kalkulus (hvis det altså stadig er den lærebog der bliver brugt i analyse 1).

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. maj 2020 af Soeffi

#1.

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n}\cdot ln(2n)}$

Konvergens:

Man har...

$a_n= \frac{1}{\sqrt{2n}\cdot ln(2n)}$

Det ses, at a_n er aftagende for voksende n. Det ses også, at den er monotont aftagende da...

$a_{n+1} =\frac{1}{\sqrt{2(n+1)}\cdot ln(2\cdot (n+1))}\leq a_n,\;n\geq 1$

Dermed er konvergenskriteriet opfyldt for den alternerende række.

Absolut konvergens:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left | (-1)^n\cdot a_n \right |=\sum_{n=1}^{\infty} \left | a_n \right |=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n}\cdot ln(2n)}$

Man har følgende ulighed...

$\sqrt{2n}\geq ln(2n),\;n\geq 1$

der giver...

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n}\cdot ln(2n)}\geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n}\cdot \sqrt{2n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Da højre side af uligheden er divergent, så er venstre side det også.

Dermed er rækken ikke absolut konvergent, og dermed er den betinget konvergent.

Svar #7
20. maj 2020 af fysik4

Mange tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Absolut og betinget konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.