Matematik

Enhedshyperbel

26. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg skal gøre rede for, at det komplekse tal:

$cosh(x)+i sinh(x)$

Ligger på enhedshyperblen, der kan skrives som:

$cosh(x)^2-sinh(x)^2=1$

Det er grafisk tydeligt, at dette er tilfældet, men det er svært for mig at redegøre matematisk for, hvorfor det er sådan. Kan nogen hjælpe mig på vej? Jeg har tænkt på, at man kan differentiere på begge sider og derved vise, at både venstre- og højresiden bliver 0, og på denne måde kan man konkludere, at det er en konstant, men kan man ud fra dette udlede, at det komplekse tal for alle vinkler, x, der befinder sig inden for mængden af de reelle tal, ligger på enhedshyperblen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2020 af peter lind

brug defnitionen af cosh(x) og sinh(x)

(cos(x) + i*sin(x))² - (cos(x) - i*sin(x))²

Svar #2
26. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Jeg har fundet disse definitioner:

$cosh(x)=\frac{e^x+e^-^x}{2}$

$sinh(x)=\frac{e^x-e^-^x}{2}$

Jeg kan på denne måde skrive det komplekse tal som:

$\frac{e^x+e^-^x}{2}+i*\frac{e^x-e^-^x}{2}$

Jeg kan også regne ud, at:

$cosh(x)^2+(i*sinh(x))^2=cosh(x)^2-sinh(x)^2$

Men igen har jeg lidt svært ved at komme videre

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2020 af peter lind

se #1 Du skal simpelthen udregne udtrykket der. Det giver sin²(x) + cos²(x) = 1

Svar #4
26. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Tak. Bare lige for at forstå det rigtigt. Er cosh(x) også defineret som (cos(x)+i*sin(x))^2 og sinh(x) som (cos(x)-i*sin(x))^2?

Svar #5
26. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Og jeg er ikke helt med på, hvordan sin og cos kommer ind i billedet, da det komplekse tal er cosh(x)+i*sinh(x)

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. september 2020 af peter lind

nej. Undskyld jeg har blandet noget sammen cosh(x) og sinh(x) som du har skrevet i #2. Du skal sætte de definitioner ind i cosh(x)² - sinh(x)² og regne ud. Dermed kommer du frem til cos²(x) + sin²(x) = 1

Svar #7
26. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Men hvordan forklarer det, at jeg kommer frem til grundrelationen, at det komplekse tal ligger på enhedshyperblen?

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. september 2020 af peter lind

Det forklarer du ved dine udregninger som angivet i #6

Svar #9
27. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Men jeg forstår bare ikke, hvor du får cosinus og sinus fra? Der er jo tale om cosh og sinh? Betyder det, du skriver i #2, at:

$cosh(x)=cos(x)+i*sin(x)$

$sinh(x)=cos(x)-i*sin(x)$

Eller?

Svar #10
27. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Jeg er helt med på, at hvis jeg sætter de definitioner, jeg selv har skrevet op i #2 i min ligning og reducerer, så ender jeg med at få 1, men jeg ender ikke med at få noget som helst med cosinus eller sinus

Skriv et svar til: Enhedshyperbel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.