Matematik

Grænseværdi

16. oktober 2020 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan finder jeg grænseværdierne for disse funktioner?

lim_(x,y) -> (0,0) (sin(xy))/(xy) * cos(x+y)

lim_(x,y) -> (1,1) (3x^2 - 3xy - 2x + 2y)/(x-y)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2020 af Anders521

#0 Hvad hedder den første funktion? Er det

sin(xy)/(xy)·cos(x+y) eller [sin(xy)/xy]·cos(x+y)?

Husk at vedhæfte et billede af opgaven, og gerne fortæl os hvad du selv har prøvet på at løse den.

Svar #2
16. oktober 2020 af K22

Det er det første udtryk, du skrev. Jeg har selv prøvet at løse opgaven, men jeg ved ikke, hvordan jeg kan omskrive udtrykket, så jeg ikke kommer til at dividere med 0. Jeg har prøvet at omskrive til polære koordinater, men fik ikke særlig meget ud af det.

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. oktober 2020 af Soeffi

#0...lim_(x,y) -> (0,0) (sin(xy))/(xy) * cos(x+y)...

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1712999. Benyt evt:...

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x\cdot y)\cdot cos(x+y)}{x\cdot y}=\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x\cdot y)}{x\cdot y}\cdot cos(x+y)=$

$\lim_{(u,v)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(u)}{u}\cdot cos(v)=1\cdot cos(0)=1$

hvor u = x·y og v = x+y.

Svar #4
16. oktober 2020 af K22

Hvad med den anden opgave? Kan det passe, at jeg skal bruge l´hopital, hvor jeg starter med at differentiere x? Altså sådan her

$\lim_{(x,y)\rightarrow (1,1)}(6x-3y-2)/(1)=1$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. oktober 2020 af Anders521

#4 Det er nok ikke nødvendigt. Du kunne i stedet omskrive tælleren til (3x-2)·(x-y) og dernæst forkorte brøken.

Svar #6
16. oktober 2020 af K22

Men er det forkert at gøre sådan, som jeg har gjort det?

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. oktober 2020 af Soeffi

#4. l'Hospital kan kun bruges på brøker med een ubekendt. I tilfælde a) får du mere præcist:

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x\cdot y)\cdot cos(x+y)}{x\cdot y}=$

(skift af variable: x·y=u og x+y=v):

$\lim_{(u,v)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(u)}{u}\cdot cos(v)=$

(opdeling i to grænseværdier med een variabel hver. Disse grænseværdier ganges):

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin(u)}{u}\cdot \lim_{v \rightarrow 0}cos(v)=$

(brug af l'Hospital på sin(u)/u):

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{cos(u)}{1}\cdot \lim_{v \rightarrow 0}cos(v)=cos(0)\cdot cos(0)=1$

I tilfælde b) behøver du ikke l'Hospital, fordi brøken kan forkortes.

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. oktober 2020 af Anders521

#7 Faktisk er det muligt, ifølge artiklen.

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. oktober 2020 af Soeffi

#8...Faktisk er det muligt, ifølge artiklen.

Der er en sætning...men hvordan denne kan bruges i praksis, har jeg svært ved at se.

Skriv et svar til: Grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.