Differentialligninger...Hjælp

løsningen til den differetialligning er positiv og monoton voksende

men hvordan kan jeg vha. beregninger (evt. løsningen af de forskellige funktioner) vise det?

#3 Der står, at du skal argumentere, ikke beregne. Men hvis du insisterer, er du vel klar over, at en løsning til differentialligningen y' = k·y, er givet ved y = C·e^kx.

hvordan kan jeg så argumentere for det 

#5 En måde at argumentere for det er på baggrund af en grafisk undersøgelse af differentialligningen. Hvis vi tegner den generelle ligning y' =k·y i en (y',y)-plan, så ved vi fra C-niveau, at den udgør en ret linje, der går gennem (0,0). Den kaldes for en ligefrem proportionalitet, idet funktionerne y' og y er proportionale ifht. hinanden med en faktor k. 

I en (y',y)-plan gælder der følgende:

a) For y ∈] -∞, 0 [ er y' < 0, dvs. løsningerne y er aftagende. I et (x,y)-plan vil integralkurverne derfor være aftagende, og kurverne vil ligge under x-aksen.                                                                                              b) For y ∈] 0, ∞ [ er y' > 0, dvs. løsningerne y er voksende. I et (x,y)-plan vil integralkurverne derfor være voksende, og kurverne vil ligge over x-aksen.                                                                                                    c) For y = 0 er y' = 0, dvs. løsningen y er konstant.  I et (x,y)-plan vil integralkurven derfor være konstant, og kurven vil være en vandret linje, der "oven på x-aksen".

I din opgave er der 3 mulige  "integralkurver". Det står nu klart ud fra den kvalitativ analyse oven for, at med ligningen y' = 0,3·y, kan parablen f udelukkes, idet y' ikke skifter fortegn. Dernæst kan grafen h udelukkes. Det skyldes, at Origo er en del af grafen, hvilket ikke er muligt med mindre y' = 0. Men så er integralkurven en vandret linje, hvilket h ikke er. Det må så betyde, at grafen for g er en integralkurve, hvilket er klart, da for g(x)∈ ] 0, ∞ [ er g'(x) > 0 for alle x∈ R.

Sådan kan du argumentere.

#5 Se retningsfeltet i vedhæftet billede som støtte.