Side 2 - bevis

#20

#11 Mon det er noget i stil med dette, du er på jagt efter?

hvad er den endelig konklusion på det du har lavet?

men før du gør det kunne jeg godt tænke mig at du forklarede trin for trin hvad du har lavet i #20 så jeg forstår bedre hvordan opgaven løses og så jeg selv kan prøve at lave det selv på papir?

men jeg forstår stadig ikke hvordan opgaven skal laves 

kan nogle give mig en forklaring på hvad der er blevet gjort i svar #21 og hvad er det man er kommet frem til?

1. Intervallet [a,b] deles op i n lige lige store stykker, og delepunkterne nummereres fra x₀ til x_n.
Overvej, at x_i = a + i·Δx

2. Grafpunkterne hørende til delpunkterne afsættes, og der tegnes rettte linjestykker mellem alle nabopunkter. Derved fås n trapezer, hvis areal tilsammen er et estimat for arealet under kurven.

3. Længden af de to parallelle linjer i den enkelte trapez er funktionsværdierne i de to endepunkter og højden er Δx. Dermed kan arealet beregnes (udtrykt ved delpunkterne) og summeres.

4. Jo finere inddelingen er, dvs. jo flere delpunkter der er, des bedre tilnærmer trapezsummen det virkelige areal. Se evt. vedhæftede eksempel, som er lavet i TI-Nspire, men viser princippet. Jeg har i beregninger (af ren dovenskab) brugt h i stedet for Δx.

Altså kan man for en given positiv funktion beregne trapezsummen i et givet interval [a,b] og bruge det som en ca.-værdi for . Det kan man så udnytte til at bestemme et integral, som man ikke kan bestemme analystisk ved at benytte stamfunktion.

Det er et eksempel.

Når intervallet frra a til b skal inddeles i n lige store stykker må hver af dem være som angivet.

Princippet i, ad geometrisk vej, at bestemme et bestemt integral er at benytte det analytiske grundlag,
der definerer det bestemte integral. Man bestemmer et areal af punktmængden, som man ved, er større
end det analytiske bestemte, som ér det bestemte integral. Ligeledes bestemmer man et areal, som man
ved, er mindre end det analytisk bestemte. Man opererer med henholdsvis en oversum og en undersum.
Differencen af oversum og undersum kan gøres vilkårlig lille, og den fælles værdi af oversum og undersum
er værdien af integralet. Overføres dette på punktmængden under kurven # 21, er det åbenlyst, at jo tættere
trapezerne ligger ved siden ad hinanden, desto mindre bliver forskellen på de to nævnte summer.
Vil man have integralets værdi beliggende indenfor et (snævert) interval, kan man tilpasse antallet af
trapezer derefter. Antallet kan blive betragtelig stort, men så får man også belønningen med et integral,
der afviger meget lidt fra det teoretisk beregnede. 
 
 

nederste linje i #14
skal naturligvis være:
                                         

#31 Som skrevet i #24 4. er det TI-Nspire, jeg har benyttet, men det betyder vel ikke noget?

#29 “Antallet kan blive betragtelig stort, men så får man også belønningen med et integral,
der afviger meget lidt fra det teoretisk beregnede”
Forstår ikke helt hvad du mener her

Jo større n, jo mere skal beregnes, men jo tættere kommer summen på den rigtige værdi. Se eksemplet, der er vedhæftet i # 24.

Jamen, det er jo det, det hele går ud på.

Kan du skrive noget vejledende tekst til, hvordan du er kommet frem til dine mellemregninger?