integral

07. februar 2021 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej hvordan skal jeg beregne integralet?

$\int_0^{\pi/2}\frac{t}{\tan(t)}dt$

Uden Maple

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. februar 2021 af MatHFlærer

Du kan løse det på forskellige måder. Jeg vil omskrive til

$\int_0^\infty \frac{\arctan{(x)}}{x(x^2+1)}dx=\int_0^1\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+1)(x^2y^2+1)} dxdy$

Prøv nu derfra.

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. februar 2021 af Soeffi

#0. Der er tale om et uegentligt integral, der ikke har en analytisk stamfunktion.

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{t}{tan(t)}dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} t\cdot \frac{1}{tan(t)}dt=$

$\left [ t\cdot ln(sin(t)) \right ]_0^\frac{\pi }{2} - \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt=$

$\tfrac{\pi }{2}\cdot ln(sin(\tfrac{\pi }{2})) - \lim_{t\rightarrow 0^+}t\cdot ln(sin(t)) - \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt=$

$- \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt$

Dette har ikke en analytisk stamfunktion, men man har...

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(2t))dt=$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(2 \cdot sin(t)\cdot cos(t))dt=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(2)dt+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(t))dt+{\color{Blue} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cos(t))dt}=$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(2)dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt+{\color{Blue} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(\tfrac{\pi }{2}-t))dt}=$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(2)dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt+{\color{Blue} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt}=$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(2)+2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt=$

$\frac{\pi}{2} \cdot ln(2)+2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt$

Samtidig gælder...

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(2t))dt=$

$\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\pi}ln(sin(2t))d(2t)=$

$\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\pi}ln(sin(t))dt=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(t))dt$

(Det sidste følger af, at sin(t) er symmetrisk om t = π/2.)

Dette giver...

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(t))dt=\frac{\pi}{2} \cdot ln(2)+2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(t))dt\Leftrightarrow$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(t))dt=-\frac{\pi}{2} \cdot ln(2)$

Dette indsættes i det partielle integral fra starten:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{t}{tan(t)}dt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(t))dt=\frac{\pi}{2} \cdot ln(2)$

Skriv et svar til: integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.