Lineære regressioner

Tegn et koordinatsystem på et stykke ternet papir. Tegn nogle punkter, der omtrent ligger på en linie gennem (0,0). De skal ligge lidt spredt om linien. Tag en lineal og tegn den linie, der går gennem (0,0) og ligger så tæt på de tegnede punkter som muligt. Denne linie har ligningen y=ax. Ved hvert punkt tegner du et lodret liniestykke til linien. Længden af liniestykket hørende til punkt i er |(y_i - ax_i)|. Hvis linien ligger "rigtigt" er disse liniestykkers længder størrelsen af målefejlene, der er fremkommet ved den måling, punkterne repræsenterer. Det gælder om at få dem så små som muligt.

Hvis man bare lægger dem samme, får man problemer med at regne på absolutværdier. Bl.a. derfor kvadrerer man tallene. For nemheds skyld kaldes (y_i - ax_i) for d_i.

De kvadrerede tal lægges sammen til så man får ks = d₁² + d₂² + d₃² + ... + d_n², hvis der er n punkter. Denne sum skal være så lille som muligt, så liniens hældningskoefficient, a, skal tilpasses, så ks bliver mindst mulig.

Man finder som bekendt ekstremumspunkter af en funktion ved at differentiere den med hensyn til de uafhængige variable og så sætte den afledede lig med 0. Derfor differentieres ks med hensyn til a:

UPS jeg glemte to lighedstegn. De skal stå forest i linie 2 og 3.

Det næste der skal ske er, at den afledede skal sættes lig med 0. Derved fremkommer en ligning, hvoraf a skal bestemmes. Først divideres ligningen på begge sider af lighedstegnet med 2. Derefter samles alle led med a på den ene side af lighedstegnet og alle de andre led på den anden side. På den side, hvor ledene med a står, sættes a udefor en parentes. Til sidst divideres der på begge sider af lighedstegnet med denne parentes.

Men hvad med "..." forstår ikke helt hvad der skal stå der og hvordan.

Hvis man skal skrive et udtryk eller en opremsning, hvor man muligvis ikke ved, hvor mange elementer der er, kan man starte med at skrive de første og så sætte tre prikker, der angiver, at der er flere af samme slags, og afslutte med den sidste. F.eks. skrives tallene fra 1 til n som 1, 2, 3, ... , n. Læg mærke til, at det tegn (komma), der adskiller elementerne i listen, skrives både før og efter prikkerne. Tallene fra 1  til 12 skrives altså 1, 2, 3, ... , 12. Summen af de samme tal skrives 1 + 2 + 3 + ... + 12. Det er bare en måde til at u ndgå at skrive noget, som man kan regne ud udfra det øvrige.