Matematik

Kombinatorik sandsynlighed for bolde af parvis sammekulør

13. februar 2021 af WolframAks - Niveau: A-niveau

Jeg har 12 røde bolde og 12 blå bolde.

Jeg tager nu bolde parvis (2 bolde) ad gangen.

Hvad er sandsynligheden for, at hvis jeg tager 12 par, så har alle par samme farve?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \frac{\binom{12}{2}}{\binom{24}{2}}\cdot \frac{\binom{10}{2}}{\binom{22}{2}}\cdot \frac{\binom{8}{2}}{\binom{20}{2}}\cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}}\cdot \frac{\binom{4}{2}}{\binom{16}{2}}\cdot \frac{\binom{2}{2}}{\binom{14}{2}} \end{array}$

Svar #2
13. februar 2021 af WolframAks

Kan du forklare svaret?

Svar #3
13. februar 2021 af WolframAks

#1
$\small \begin{array}{llll} \frac{\binom{12}{2}}{\binom{24}{2}}\cdot \frac{\binom{10}{2}}{\binom{22}{2}}\cdot \frac{\binom{8}{2}}{\binom{20}{2}}\cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}}\cdot \frac{\binom{4}{2}}{\binom{16}{2}}\cdot \frac{\binom{2}{2}}{\binom{14}{2}} \end{array}$

Kan du forklare svaret? Jeg forstår ikke hvorrdan du når frem til dette resultat?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. februar 2021 af Soeffi

#3. Svaret i #1 giver:

$\frac{\binom{12}{2}}{\binom{24}{2}}\cdot \frac{\binom{10}{2}}{\binom{22}{2}}\cdot \frac{\binom{8}{2}}{\binom{20}{2}}\cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}}\cdot \frac{\binom{4}{2}}{\binom{16}{2}}\cdot \frac{\binom{2}{2}}{\binom{14}{2}}=\frac{1}{2704156}$

Man kan også sige: 24 bolde nummereret fra 1 til 24 kan opstilles i rækkefølge på 24! måder. De 12 ulige tal kan opstilles på 12! måder og det samme med de lige. Hvis man arrangerer dem: ulige-lige hele vejen, så får man sandsynligheden:

$\frac{(12!)^2}{24!}=\frac{1}{2704156}$

Da man får det samme på to måder, så tyder det på, at man er inde på noget af det rigtige, men jeg har en fornemmelse af, at man skal gange med 2, fordi man også kan vælge lige-ulige skiftevis hele vejen.

Svar #5
13. februar 2021 af WolframAks

ja, man kan jo både få blå bolde og røde bolde, så jeg tror ikke svaret er helt rigtigt

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. februar 2021 af Soeffi

#4...man får sandsynligheden:
$\frac{(12!)^2}{24!}=\frac{1}{2704156}$

...jeg har en fornemmelse af, at man skal gange med 2¹², fordi man har tolv tal-par som kan være enten ulige-lige eller lige-ulige hele vejen.

Dvs. P(hvert par er rød og blå) =

$\frac{(12!)^2}{24!}\cdot 2^{12}=\frac{1024}{676039}=0,00151$

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. februar 2021 af peter lind

Svaret i #1 er det rigtige

Man tager først 2 bolde ud af 24. Dette kan gøres på K_24,2 måder. De gunstige udfald er 2 ud af 12 så det kan gøres på 2 ud af 12 altså K_12,2 måder sandsynlighed K_12,2/_24,2.

Der er nu tilbage 22 bolde ialt og 10 gunstige. Det giver en sandsylighed på K_10,2/22,2.

Hver gang rykker man 2 bolde ned.

Man skal foretage alle trækninger så både og altså gange sammen og man får resultatet i #1

Svar #8
13. februar 2021 af WolframAks

Ok, svaret på opgaven er ifølge løsning (altså 1# er ikke rigtig):

$\left(\frac{12!}{6!}\right)^2/\left(\frac{24!}{12!}\right)$

Men jeg aner ikke hvordan man kommer frem til det resultat

Svar #9
13. februar 2021 af WolframAks

Muligvis fordi at hvert par af bolde kan være ens, men at alle par ikke nødvendigvis skal være samme farve. Hvis du forstår hvad jeg mener?

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. februar 2021 af peter lind

Vedlæg opgaven ordret gerne som et billede, billedfil eller pdf fil. Det bør du altid gøre, så der ikke er nogen tvivl om hvad opgaven går ud på

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. februar 2021 af Soeffi

#9. Svarene i #1-#7 er vist lavet ud fra antagelsen om, at der menes alle par skal være ens dvs. bestå af en blå og en rød i hvert par. Antag at hvert par skal bestå af enten to røde eller to blå. I så fald får man:

Man vælger først de blå par. Antal måder: $12!$ :...Først vælger man den første blå blandt 12 bolde. Dens partner vælges blandt 11. Den næste bold (den første bold i andet par) vælges blandt 10 bolde og den anden bold i andet par blandt 9. Dette forsættes gennem alle seks par, og man får det samlede antal valgmåder til 12!

For de røde gælder det samme: $12!$ Samlet kan parrene vælges på $(12!)^2$ måder.

Røde og blå par kan arrangeres på følgende antal måder:

$\binom{12}{6}=\frac{12!}{(6!)^2}$

Antal gunstige måder at vælge par på er dermed:

$\frac{(12!)^3}{(6!)^2}$

Boldene kan i alt udvælges på følgende antal mulige måder: $24!$

Sandsynligheden giver:

$\frac{(12!)^3}{(6!)^2\cdot 24!}=\frac{33}{96577}=0,00034$

Skriv et svar til: Kombinatorik sandsynlighed for bolde af parvis sammekulør

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.