Matematik

stamfunktion

10. august 2021 af Lise123Lise - Niveau: A-niveau

Hej jeg skal finde stamfunktionen til følgende funktion, men kan ikke rigtig finde ud af det

$g(x)=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+7$

Mit forsøg:
$g'(x)=\frac{1}{2}*1*2e^{2x}-\frac{1}{4}2e^{2x}+0$

$g'(x)=\frac{1}{2}*2e^{2x}-\frac{1}{4}2e^{2x}$

$g'(x)=\frac{1*2e^{2x}}{2}-\frac{1*2e^{2e}}{4}$

$g'(x)=\frac{2*2e^{2x}}{4}-\frac{1*2e^{2e}}{4}$

og så kan jeg ike komme videre, ved heller ikke lige hvor rigtigt det er so far

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. august 2021 af mathon

$\begin{array}{lllllll}\textup{funktion:}&& g(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{2x}-\frac{1}{4}\cdot e^{2x}+7=e^{2x}\cdot \left (\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \right )+7\\\\ \textup{stamfunktioner:}&&G(x)=\frac{1}{2}e^{2x}\cdot \left (\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \right )-\int \left (\frac{1}{2}e^{2x}\cdot\frac{1}{2} \right )\mathrm{d}x+7x+k=\\\\&& \frac{1}{2}e^{2x}\cdot \left (\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \right )-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot e^{2x}+7x+k=\\\\&& \frac{1}{2}e^{2x}\cdot\left (\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right )+7x+k=\\\\\\&& \frac{1}{4}e^{2x}\cdot\left ( x-1 \right )+7x+k \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. august 2021 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{kontrol:}\\& \left (\frac{1}{4}e^{2x}\cdot (x-1)+7x+k \right ){}'=\frac{1}{4}\cdot e^{2x}\cdot 2\cdot (x-1)+\frac{1}{4}e^{2x}\cdot 1+7+0=\\\\& \frac{1}{2}x\cdot e^{2x}-\frac{1}{2} e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+7=\frac{1}{2}x\cdot e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+7 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. august 2021 af ringstedLC

#0: Udover at du skal integrere for bestemme en stamfunktion, så differentierer du forkert:

$\begin{align*} g(x) &= \tfrac{1}{2}\,x\,e^{2x}-\tfrac{1}{4}\,e^{2x}+7 \\ g'(x) &= \underset{\textup{formel (134),\;produktreglen}}{\underbrace{\Bigl(\tfrac{1}{2}\,x\Bigr)'\cdot e^{2x}+\tfrac{1}{2}\,x\cdot \Bigl(e^{2x}\Bigr)'}}- \tfrac{1}{4}\cdot 2\,e^{2x}+0 \\ &= ... \\ g'(x) &= x\,e^{2x} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. august 2021 af ringstedLC

#0: Dit forsøg kunne fortsættes fra sidste linje:

$\begin{align*} g'(x) &= \frac{2*2e^{2x}}{4}-\frac{1*2e^{2x}}{4} \\ &= \frac{2*2e^{2x}-1*2e^{2x}}{4} \\ g'(x) &= \frac{2e^{2x}}{4}={\color{Red} \frac{1}{2}\,e^{2x}} \\ \textup{eller fra 2.\,linje}:\\ g'(x) &= \frac{1}{2}*2e^{2x}-\frac{1}{4}*2e^{2x} \\ &= \biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\biggr)*2e^{2x} \\ g'(x) &= \frac{1}{4}*2e^{2x}={\color{Red} \frac{1}{2}\,e^{2x}} \end{align*}$

men den forkerte differentiering giver selvfølgelig et forkert resultat.

Svar #5
19. august 2021 af Lise123Lise

For står ikke helt hvor $\frac{1}{2}e^{2x}$ kommer fra og hvorfor det skal minus med det andet, som jeg heller ikke aner hvor kommer fra.

har også fået at vide at facit skal være $xe^{2x}$

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-08-19 kl. 09.36.15.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. august 2021 af ringstedLC

#5:

$\begin{align*} \int \!e^{k\,x}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{k}\,e^{k\,x}\quad\textup{formel (151)} \end{align*}$

men når facit skal være som du skriver, så genlæs lige #3 og navnlig resultatet og se at du alligevel skal differentiere funktionen. Det hedder at bestemme funktionens (første) afledede og ikke at finde en stamfunktion.

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. august 2021 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Funktion:}\\&g(x)&=&\frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{2x}-\frac{1}{4}\cdot e^{2x}+7\\\\ \textup{Differentiation:}\\& g{\, }'(x)&=&\frac{1}{2}\cdot 1\cdot e^{2x}+\frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{2x}\cdot 2-\frac{1}{4}\cdot e^{2x}\cdot 2+0=\\\\&&& \frac{1}{2}\cdot e^{2x}+ x\cdot e^{2x}-\frac{1}{2}\cdot e^{2x}=x\cdot e^{2x} \\\\\\&&& \textup{Det er s\ae rdeles brugbart at kunne kende forskel p\aa \ }\\&&& \textup{stamfunktion og differentieret funktion!} \end{array}$

Svar #8
30. august 2021 af Lise123Lise

Forstår ikke helt hvilke regler du bruger ift g'(x)

Svar #9
30. august 2021 af Lise123Lise

Skal man differentiere eller intergrere?

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. august 2021 af ringstedLC

#8: De står alle i FS.

#9: Tjah, det må du jo vide. Vi har kun oplysningen om facit og så:

Vedhæft et godt billede af hele opgaven og beskriv, hvad du har lavet.

Skriv et svar til: stamfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.