Matematik

Bevis for toppunktformel

07. september 2021 af Maja2503 - Niveau: C-niveau

Hej.

Jeg sidder fast i en opgave, hvor man skal bevise toppunktformlen. Altså skal følgende formel for toppunktet vises:

$x_T = -b/2a$

Her oplyses det, at nedenstående

$f(x_T - h) = f(x_T + h)$

som er to x-koodinater, der ligger i afstanden h fra toppunktet af en parabel, skal omskrives til følgende:

$a(x_T-h)^2+b(x_T-h)+c=a(x_T+h)^2+b(x_T+h)+c$

For at bevise formlen skal ovenstående omskrives til $x_T = -b/2a$

Jeg er dog lidt i tvivl om, hvordan $a(x_T-h)^2+b(x_T-h)+c=a(x_T+h)^2+b(x_T+h)+c$ omskrives til $x_T = -b/2a$ .

Det kunne være en stor hjælp, hvis nogen kunne forklare mellemregningerne.

På forhånd tak.

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. september 2021 af AMelev

$a\cdot (x_T-h)^2+b\cdot (x_T-h)+c=a\cdot (x_T+h)^2+b\cdot (x_T+h)+c$
Træk c fra på begge sider af lighedtegnet
$a\cdot (x_T-h)^2+b\cdot (x_T-h)=a\cdot (x_T+h)^2+b\cdot (x_T+h)$
Benyt kvadratsætning (16) & (15) side 7 i din formelsamling
$a\cdot (x_T^2+h^2-2x_T\cdot h)+b\cdot (x_T-h)=a\cdot (x_T^2+h^2+2x_T\cdot h)+b\cdot (x_T+h)$
Gang a og b ind i parenteserne og træk det fra, der står på begge sider af lighedtegnet $a\cdot ({\color{Red} x_T^2+h^2}-2x_T\cdot h)+b\cdot ({\color{Blue} x_T}-h)=a\cdot {\color{Red} (x_T^2+h^2}+2x_T\cdot h)+b\cdot ({\color{Blue} x_T}+h)\Leftrightarrow$
$-2a\cdot x_T\cdot h-b\cdot h=2a\cdot x_T\cdot h+b\cdot h$
Læg $2a\cdot x_T\cdot h-b\cdot h$ til på begge sider af lighedtegnet
$-2b\cdot h=4a\cdot x_T\cdot h$
Dividér med $4a\cdot h$ på begge sider af lighedtegnet

$\frac{-2b\cdot h}{4a\cdot h}= x_T$
Forkort med 2h
$\frac{-b}{2a}= x_T$

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. september 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{parablen:}&y=ax^2\quad \textup{f\o res med parallelforskydningsvektor }\overrightarrow{p}=\bigl(\begin{smallmatrix} h\\k \end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \textup{over i}\\ \textup{parablen:}&y=a(x-h)^2+k=ax^2-2ahx+ah^2+k\\\\ \textup{Da man }\\\textup{\o nsker}\\ \textup{standardformen:}&y=ax^2+bx+c\\\\ \textup{skal}\\& -2ah=b\\\\& h=\frac{b}{-2a}=\frac{-b}{2a}\\\\& ah^2=a\cdot \left ( \frac{-b}{2a}\ \right )^2=\frac{b^2}{4a}\\\\ \textup{og}\\& ah^2+k=c\\\\& \frac{b^2}{4a}+k=\frac{4ac}{4a}\\\\& k=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-d}{4a}\\\\ \textup{dvs}\\& y=a\left (x-h \right )^2+k=a\left ( x-\frac{-b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a} \end{array}$

Skriv et svar til: Bevis for toppunktformel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.