Matematik

Panserformel

20. januar 2022 af qwerty18 - Niveau: A-niveau

Jeg har siddet og læst lidt om panserformlen, men er stødt på to forskellige udgaver af denne.

Når man har en differentialligning på formen

$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$ ,

kan man altså løse den på begge disse måder:

$y=e^{-A(x)} \cdot \int e^{A(x)} \cdot b(x) d x$ og

$y=\mathrm{e}^{-A(x)} \int b(x) \cdot \mathrm{e}^{A(x)} d x+c \cdot \mathrm{e}^{-A(x)}$ .

Spørgsmålet er altså: Hvad er forskellen på de to løsninger til differentialligningen og hvornår bruger man dem hver især? Og findes der differentialligninger, der kun kan løses med én af de to?

Bevis for den første løsning: https://www.docdroid.net/nWOZuPH/differentialligninger-beviser-mat-hf-svar-pdf#page=7

Bevis for anden løsning: https://da.wikipedia.org/wiki/Panserformlen

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. januar 2022 af mathon

Det er én og samme løsning:

$\small \begin{array}{lllllll} y=& \int e^{A(x)}\cdot b(x)\,\mathrm{d}x=e^{-A(x)}\cdot \left (\int_0 e^{A(x)}\cdot b(x)\,\mathrm{d}x +C\right ) =\\\\& Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\cdot \int_0 e^{A(x)}\cdot b(x)\,\mathrm{d}x \\\\ \textup{hvor}\\& \int_0 e^{A(x)}\cdot b(x)\,\mathrm{d}x\textup{ \; \; er integralet med integrationskonsten 0} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. januar 2022 af mathon

integrationskonsten $\small \rightarrow$ integrationskonstanten

Skriv et svar til: Panserformel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.