Halv- og kvartcirkel

Nej. Kald arealet af kvartcirklen A₂ og af en halvcirkel A₃. Du skal så give et argument for, at A₂=2A₃.

Et tip: Hvis du kalder radius i en halvcirkel for r, hvad er så arealet af en halvcirkel? Hvad er radius i kvartcirklen? Hvad er dens areal?

Hvad sker der med arealet, hvis radius bliver dobbelt så stor?

#0

Kan det være, at a) er = 2 * A₀ + A₁

Det er jo ikke en ligning.

a) Vis at:

b) Benyt det beviste i a) til at opstille en ligning, der kan reduceres til det ønskede:

Forstår ikke præcist, hvad jeg skal gøre. Betyder d_A0 diameteren? 

Og for at være med, så er A₂ = kvartcirkel, men hvad er A₁ så?

#5

Betyder d_A0 diameteren? 

Og for at være med, så er A₂ = kvartcirkel, men hvad er A₁ så?

1. Ja.

2. Nej. Se på figuren.

# 0
Vink:   Betragt de to skæringspunkter for de to orange cirkelbuer
og forbind disse med en ret linje og benyt cirkelafsnittet til bestemmelse af arealet,
udsnitsvinklen kender vi. Gør brug af alle symmetriegenskaber der viser sig. 

#0. 

a) Sæt r = radius af kvartcirkel. Dermed gælder:

    Areal af kvartcirkel = 2·A₀ + A₁ + A₂ = (1/4)·π·r²

    Areal af halvcirkler = 2·(A₀ + A₁) = 2·(1/2)·π·(r/2)² = (1/4)·π·r²

b) Af a) følger, at 2·A₀ + A₁ + A₂ = 2·(A₀ + A₁) ⇔ A₁ = A₂. QED.

UPS, Jeg har lavet en fejl: A₂ er ikke kvartcirklens areal, men det lange grå områdes areal.

Du skal argumentere for, at arealet af summen af arealerne af de to halvcirkler er det samme som arealet af kvartcirklen. Det nederste rette liniestykke på figuren er radius i kvartcirklen og diameter i den ene halvcirkel. Derfor er radius kvartcirklen dobbelt så stor som radius i halvcirklerne. Når radius i en cirkel fordobles, bliver arealet 4 gange så stort. De to halvcirkler har til sammen samme areal som en hel cirkel med samme radius. Kvartcirklen er en fjerdedel af en cirkel, der har dobbelt så stor radius og altså 4 gange så stort et areal.