Matematik

Epsilon-Delta-bevis

09. februar 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg har følgende opgave:

$f(x)=\frac{2x+3}{x+1}, \: for \: x\in \mathbb{R}, x\neq -1$

Vis at

$f(x) \rightarrow 3 \: for \: x \rightarrow 0$

Vink: Observer at $|x+1|>\frac{1}{2} \: hvis \: |x|<\frac{1}{2}$

Jeg ved at jeg skal undersøge $|f(x)-3|<\epsilon \: \Rightarrow 0<|x-3|<\delta$ og at

$|f(x)-3|=|\frac{2x+3}{x+1}-3|=|\frac{-3x}{x+1}|$ $|f(x)-3|=|\frac{2x+3}{x+1}-3|=|\frac{-3x}{x+1}|<\epsilon$

Men jeg har umulig svært ved at komme videre herfra..

Kan nogen være behjælpelig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. februar 2022 af SuneChr

Implikationen skal vendes.
Man skal vise, at
$\forall \varepsilon >0\, \exists \delta >0:\, |x-3|<\delta \Rightarrow\, \left | \frac{-x}{x+1} \right |<\varepsilon$
Rettelse: |x - 0| < δ og ikke |x - 3| < δ

Svar #2
09. februar 2022 af louisesørensen2

Hov, ja - det var lige nogle essensielle fejl... jeg blandede opgaven sammen med en anden.

Jeg er - som du skriver det SuneChr - nået til $|x-3|<\delta \Rightarrow |\frac{-x}{x+1}|<\epsilon$ .

Det er herfra jeg ikke kan komme videre..

Jeg ved ikke hvordan jeg skal gribe den an, skønt at jeg bemærker at

$\frac{|-x|}{|x+1|}=\frac{|x|}{|x+1|}$ , hvor man på en eller anden måde vel må skulle inddrage observationen:

$|x+1|>\frac{1}{2}, \: da\: |x|<\frac{1}{2}$

Har du nogle forslag?

Svar #3
09. februar 2022 af louisesørensen2

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. februar 2022 af jl9

$\left | f(x)-3 \right |=\left |\frac{2x+3}{x+1}-3\right |=\left |\frac{2x+3}{x+1}-\frac{3x+3}{x+1}\right |=?$

Svar #5
09. februar 2022 af louisesørensen2

Skal lige få noget på det rene er mit delta interval: $|x-3| \: eller \: |x-0|$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. februar 2022 af jl9

x går mod 0, så |x|<delta

Svar #7
09. februar 2022 af louisesørensen2

Kan du uddybe noget mere jl9? epsilon-delta er rimelig svært for mig at forstå.

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. februar 2022 af jl9

Som #1 skriver, så skal vise at

"for alle" epsilon>0 "eksisterer" der et delta>0 således at hvis |x|<delta så medfører det at |f(x)-3| = |x|/|x+1| < eplison

Svar #9
09. februar 2022 af louisesørensen2

Og det er jeg enig i, men hvordan viser jeg det?

Svar #10
09. februar 2022 af louisesørensen2

Jeg kan ikke ud fra $\frac{|x|}{|x+1|}=\frac{|x-0|}{|x+1|}$ konkluder noget.

Svar #11
09. februar 2022 af louisesørensen2

Jeg skal jo på en eller anden måde netop vise $|x-3|<\delta$ ikk'? og ud fra det bestemme et $\delta$ .

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. februar 2022 af jl9

Det er lidt abstrakt ja.

Det er $\left | x \right |<\delta$ (ikke |x-3|). Præmissen er at x går mod 0. Det er f(x) der går mod 3.

Tag udgangspunkt i at |f(x)-3| = $\tfrac{\left | x \right |}{\left | x+1 \right |}$ . Og hintet med hvis |x|<1/2

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. februar 2022 af SuneChr

Vi skal vise, at til ethvert selv nok så lille $\varepsilon$ eksisterer et også lille, men mindre $\delta$ : $0<\delta <\varepsilon$

Svar #14
09. februar 2022 af louisesørensen2

Er svaret så $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. februar 2022 af jl9

Det er et udemærket valg af delta. Det svære er at beskrive hvordan det viser at f(x) går mod 3 for x går mod 0

Brugbart svar (0)

Svar #16
09. februar 2022 af SuneChr

Vi har
|x| < ¹/₂ ⇒ |x + 1| > ¹/₂
|x| < ¹/₂ ⇒ ( 1 / |x + 1| ) < 2
|x| < δ < ¹/₂ ⇒ ( |x| / |x + 1| ) < ε < 2

Skriv et svar til: Epsilon-Delta-bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.