Matematik

Epsilon Delta bevis

18. februar 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg har følgende opgave (se vedhæftede)

Jeg har identificeret grænseværdien som er -2 for x divergerende mod uendelig. Nu ønsker jeg at bestemme selvfølgelig at betingelsen $\forall\epsilon>0\exists K>0: x>K \Rightarrow |f(x)-(-2)|<\epsilon$ .

Jeg er kommet hertil, hvor følgende er reduceret til:

$\mid -\frac{2}{1+e^{-2x}}-(-2) \mid=\mid \frac{4+e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\mid$

Jeg har et Lemma som siger at $e^x\leq1+x$

i den forbindelse har jeg omskrivet ovenstående lemma til:

$e^{-2x}\leq1-2x$ , så jeg kan indsætte denne sum istedet for $e^{-2x}$ på pladserne.

Dertil ender jeg naturligvis med $\left | \frac{6-4x}{2+2x} \right |$ , men jeg synes ikke rigtig at kunne komme videre herfra...

Har jeg lavet en fejl et sted?

Giv meget gerne hints!

Tak på forhånd!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-02-18 kl. 20.51.52.png

Svar #1
18. februar 2022 af louisesørensen2

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. februar 2022 af jl9

Hvordan er du kommet frem til denher?

$\mid -\frac{2}{1+e^{-2x}}-(-2) \mid=\mid \frac{4+e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\mid$

Har du prøvet at sætte x=10 ind i denher?

$e^{-2x}\leq1-2x$

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar 2022 af peter lind

Du bør se efter med dit CAS værktøj at du har regnet rigtig.

Brugbart svar (1)

Svar #4
19. februar 2022 af oppenede

Omskriv først h(x) til
$\frac{-2}{e^{-2 x}+1}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar 2022 af Soeffi

#0. Mit forslag:...

Grænseværdien er -2 for x gående mod uendelig. Jeg ønsker at bestemme ε så:

$\forall\epsilon>0\;\exists K>0: x>K \Rightarrow |h(x)-(-2)|<\epsilon$ .

Jeg får:...

$\left | -\frac{2}{1+e^{-2x}}-(-2) \right |= \left | -\frac{2}{1+e^{-2x}}+2\frac{1+e^{-2x}}{1+e^{-2x}} \right | =\frac{2}{1+e^{2x}}$

Jeg har for x > 0:...

...og dermed:

$|h(x)-(-2)| \leq \frac{1}{1+K}=\epsilon ,\;x>K>0$

Svar #6
20. februar 2022 af louisesørensen2

Godt forslag.

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. februar 2022 af Soeffi

#6. Tak!

#5. Evt. (lidt pænere):...

Jeg har for x > 0:

og dermed for ε > 0:

$|h(x)-(-2)| < \frac{1}{1+K}=\epsilon ,\;x>K>0$

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. marts 2022 af Soeffi

#5. Måske snarere:... Jeg ønsker for et givet ε at bestemme K således at:
$\forall\epsilon>0\;\exists K>0: x>K \Rightarrow |h(x)-(-2)|<\epsilon$

...dette er opfyldt for K > 1/ε - 1

Skriv et svar til: Epsilon Delta bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.