Faktorisere

#0 Begge udtryk er ens, dog den ene er ganget med 3 på alle led:

3x² + 12x + 36 = 3·(x² + 4x + 12)

Når diskriminanten d > 0
og rødderne er r₁ og r₂
kan
                ax² + bx + c faktoriseres   a·(x - r₁)·( x - r₂)
            

Hvis et andengradspolynomium ax² + bx + c har to rødder r₁ og r₂, så gælder

ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂)

Hvis det kun har én rod r, gælder

ax² + bx + c = a(x - r)²

Hvis det ikke har nogen rødder, så kan det ikke faktoriseres.

Den første har rødderne 2 og -6, så vi har

x² + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)

Den anden har de samme to rødder, så her har vi

3x² + 12x - 36 = 3(x - 2)(x + 6)

d = 12² - 4·3·(-36) > 0
og  r₁ = 2  r₂ = -6
kan
                3x² + 12x - 36 faktoriseres   3·(x - 2)·( x + 6)

                x² + 4x - 12 faktoriseres          (x - 2)·( x + 6)

Når koefficienterne er hele tal, og koefficienten til x² er 1, vil produktet af rødderne være lig med konstantleddet, og summen vil være minus koefficienten til x. ±1, ±2, ±3, ±4 og ±6 gårop i -12. så rødderne skal findes imellem dem, hvis der er heltallige rødder. Det skal være et par med modsatte fortegn for at give -12. Summen skal være -4. Det passer med 2 og -6. Det er ikke altid, man kan finde rødderne på denne måde, men det er ofte forsøget værd.

I forlængelse af #5: 

Man har en andengradsligning på formen a·x² + b·x + c = 0 med løsningerne r₁ og r₂, hvor r₁ < r₂. At faktorisere venstresiden betyder at lave omskrivningen a·x² + b·x + c = a·(x - r₁)(x - r₂). Dette er ensbetydende med: r₁ + r₂ = -b/a og r₁·r₂ = c/a. Det er underforstået, at r₁ og r₂ er hele tal, som man kan gætte sig til.

For x² + 4x - 12 = 0 har man, at a = 1, b = 4 og c = -12. Dvs. r₁·r₂ = -12, og da dette er negativ, så har r₁ og r₂ modsat fortegn. Mulighederne er: r₁ = -12 og r₂ = 1 eller r₁ = -1 og r₂ = 12 eller r₁ = -6 og r₂ = 2 eller  r₁ = -2 og r₂ = 6 eller  r₁ = -4 og r₂ = 3 eller r₁ = -3 og r₂ = 4. Da r₁ + r₂ = -b/a = -4, så er den eneste mulighed: r₁ = -6 og r₂ = 2. Dermed er faktoriseringen: x² + 4x - 12 = (x + 6)(x - 2).