Matematik

Fourierrække

07. juni 2022 af migmigmig22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal opskrive Fourierrækken for polynomiet:

f(x)=1-sin(2x)-2cos(3x)

Men det skal være på eksponentialformen. Jeg omskriver derfor polynomiet til:

f(x)=1-e^{-3ix}-\frac{i}{2}e^{-2ix}+\frac{i}{2}e^{2ix}-e^{3ix}

Jeg kan jo nemt se, at:

c_{0}=1

ck har jeg beregnet i Maple til:

c_{k}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx=\frac{\pi (3e^{2\pi ik}i^4k^4-2e^{2\pi ik}i^3k^3-3i^4k^4+21e^{2\pi ik}i^2k^2+2i^3k^3-18e^{2\pi ik}ik-21i^2k^2+36e^{2\pi ik}+18ik-36)e^{-\pi ik}}{2ik(i^4k^4+13i^2k^2+36)}

Fourierrækken er derfor:

c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx}=1+\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{\pi (3e^{2\pi ik}i^4k^4-2e^{2\pi ik}i^3k^3-3i^4k^4+21e^{2\pi ik}i^2k^2+2i^3k^3-18e^{2\pi ik}ik-21i^2k^2+36e^{2\pi ik}+18ik-36)e^{-\pi ik}}{2ik(i^4k^4+13i^2k^2+36)}e^{ikx}+\frac{\pi (3e^{-2\pi ik}i^4(-k)^4-2e^{-2\pi ik}i^3(-k)^3-3i^4(-k)^4+21e^{-2\pi ik}i^2(-k)^2+2i^3(-k)^3+18e^{2\pi ik}ik-21i^2(-k)^2+36e^{-2\pi ik}-18ik-36)e^{\pi ik}}{-2ik(i^4(-k)^4+13i^2(-k)^2+36)}e^{-ikx}]

Men altså kan det virkelig være rigtigt? Det ser jo meget voldsomt ud.


Svar #1
08. juni 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Hmm. Skal man i virkeligheden ikke bare konkludere her, at f(x) er lig med Fourierrækken. Altså man kan jo aflæse Fourierkoefficienterne direkte, og udregningerne virker derfor noget meningsløse?


Brugbart svar (0)

Svar #2
08. juni 2022 af oppenede

Det du får i maple skyldes at du ikke fortæller at k er heltallig når den integrerer. Men kender ikke maple selv så ved ikke hvordan man gør det. Du har ret angående #1.


Skriv et svar til: Fourierrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.