Matematik

Punktvis og/eller uniform konvergens

13. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg skal afgøre hvorvidt følgende rækker er punktvis og/eller uniform konvergent på $[-\pi,\pi]$ :

$1. \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n cos(nx)}{n}$

$2. \sum_{n=0}^\infty \frac{sin(n^2x)}{2^n+1}$

Nogle som har gode idéer?

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. juni 2022 af peter lind

1) x=π rækken er ikke konvergent i π

2) |sin(n²x)/(2ⁿ+1)| ≤ 1/(2ⁿ+1)

Svar #2
13. juni 2022 af louisesørensen2

Hej Peter,

Jeg er ikke ude efter svaret, men mere hvordan opgaven gribes an

Svar #3
13. juni 2022 af louisesørensen2

1. har jeg brugt sætningen om at en absolut konvergent række er konvergent, men da

$\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{n}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{|(-1)^n cos(nx)|}{n} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

divergerer, kan den jo hverken konvergerer punktvis eller uniformt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. juni 2022 af Soeffi

#3.

$\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{n}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{|(-1)^n cos(nx)|}{n} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

En række som er mindre end en divergent række kan du ikke bruge til at sammenligne med. Du skal enten have noget der er mindre end en konvergent række eller større end en divergent afhængigt af, hvad du vil bevise.

Rækken er alternerende og aftagende derfor er den punktvis konvergent, men da det N, man vælger for et givet ε, altid vil afhænge af x, så er den ikke uniform konvergent.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni 2022 af jørgenfraviborg

Weierstrass' majoranttest er et udgangspunkt, som man kan starte med i sin undersøgelse :)

Skriv et svar til: Punktvis og/eller uniform konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.