Bestem de værdier af k

Funktionen er voksende, når der gælder

f '(x) ≥ 0 for alle x  (Du har glemt mærket.)

og du finder rigtigt nok

f '(x) = 3x² + 2kx + 3

Vi skal med andre ord bestemme k således at der gælder

3x² + 2kx + 3 ≥ 0  for alle x

Vi skal altså ikke løse ligningen men derimod finde ud af hvordan vi kan bestemme k så grafen for 3x² + 2kx + 3 ikke kommer ned under 0.

Vi har at gøre med en parabel der vender armene opad (da faktoren foran x² er positiv.)

Vi kan se at diskriminanten ikke må være positiv, for så er der en del af grafen der kommer under 0. Hvis diskriminanten er 0, bliver f '(x) = 0 for en enkelt værdi af x. Det må den godt da vi bare kræver at f '(x) ≥ 0 (altså ≥, ikke >). For D<0 er alle værdier af f '(x) større end nul.

Vi har altså at f '(x) ≥ 0, når der gælder at D ≤ 0. Så vi finder

D ≤ 0  <=>

4k² - 36 ≤ 0  <=>

k² ≤ 9  <=>

-3 ≤ k ≤ 3

#1 

Tak for svaret, men hvordan kom du frem til det sidste linje?

k² ≤ 9  

Inde i mit hoved tager jeg kvadratroden på begge sider:

k ≤ 3

Men man skal lige passe på. Da k² giver det samme hvad enten k er positiv eller negativ, så bliver uligheden brudt både når k er større end 3, men også når k er mindre end -3. For eksempel hvis k = 4, så bliver k² = 16 og uligheden er ikke opfyldt. På samme måde har vi at hvis k = -4, så bliver k² igen 16 og uligheden igen brudt.

k skal ligge mellem -3 og 3 for at k² højst bliver 9. Det kan man skrive som

-3 ≤ k ≤ 3

#3

1000 tak for den hjælpende hånd.

#2: Det er en andengrads-ulighed:

___