Matematik

HJÆLP. Konvergens for talfølge

08. november 2022 af Pedersem - Niveau: Universitet/Videregående

Lad X være et reelt tal. Derfiner en talfølge  {[a]}^{\infty}_{n=1}   ved at

a_n =\frac{n+(2x-4)(-n)^3}{n+1}

Bestem x så   {[a]}^{\infty}_{n=1}  er konvergent.

x er et helt tal mellem 0 og 99


Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2022 af Soeffi

#0. Har du overvejet: 2x - 4 = 0?


Svar #2
08. november 2022 af Pedersem

Så x = 2, men hvorfor?


Brugbart svar (0)

Svar #3
08. november 2022 af Soeffi

#2.

Du har...

a_n =\frac{n+(2x-4)(-n)^3}{n+1}=\frac{n}{n+1}\cdot \left ( 1-(2x-4)\cdot n^2\right )

Dette divergerer for 2x - 4 ≠ 0, og konvergerer for 2x - 4 = 0.


Svar #4
08. november 2022 af Pedersem

Kan man vise det således:


Brugbart svar (0)

Svar #5
08. november 2022 af jl9

Du får beskrevet at for x=2 konvergerer følgen mod 1, men ikke så meget om hvorfor eller hvorfor andre værdier af x ikke dur 

Det er forkert at skrive at den konvergerer mod uendelig. Der bruger man divergerer  fordi værdien af an bliver ved med at ændre sig for hvert næste n, frem for at konvergere mod en bestemt værdi, f.eks. 1.

Desuden kunne det vel også være minus uendelig, afhængig af x.


Brugbart svar (0)

Svar #6
08. november 2022 af Soeffi

#4. Personlig foretrækker jeg:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+(2x-4)(-n)^3}{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}\cdot \left ( 1-(2x-4)\cdot n^2\right )=

\lim_{n\rightarrow \infty}1-2\cdot (x-2)\cdot n^2=\left\{\begin{matrix} 1,\;x=2 \\ \infty,\;x< 2\\-\infty,\;x> 2 \end{matrix}\right.

#5. Det er rigtigt, at man ikke kan skrive at grænseværdien er uendelig, men det er underforstået, at følgen divergerer.


Svar #7
08. november 2022 af Pedersem

Det giver mening. Mange tak


Brugbart svar (0)

Svar #8
17. november 2022 af Soeffi

#6. Evt.:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+(2x-4)(-n)^3}{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}\cdot \left ( 1-(2x-4)\cdot n^2\right )=

\lim_{n\rightarrow \infty}1-2\cdot (x-2)\cdot n^2.

1-2\cdot (x-2)\cdot n^2\rightarrow \begin{Bmatrix} 1,\;x=2 \\ \infty,\;x< 2\\-\infty,\;x> 2 \end{Bmatrix},\;n\rightarrow \infty


Skriv et svar til: HJÆLP. Konvergens for talfølge

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.